- Questāo 3.
(2.5 pt) Calcule
, onde
, e
é a superficie formada pela uniāo do cilindro
, com
(orientado para fora) com o disco
contido no plano
(orientado para cima). O uso do Teorema de Stokes é obrigatório.
Dica:
(2.5 pt) Calcule
Dica:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
onde a campo vetorial é
e a superfície
é a união do cilindro lateral
, com
(orientado para fora) e do disco
no plano
(orientado para cima). O enunciado exige o uso do Teorema de Stokes.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é composta por duas partes que se encontram na circunferência em . - As orientações foram especificadas: cilindro orientado para fora (normal radial para fora) e disco no topo orientado para cima.
- A superfície
tem, portanto, apenas uma curva de contorno livre: a circunferência em (pois a circunferência em é fronteira comum que se anula entre cilindro e disco). - Meta final: calcular o valor numérico da integral
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Stokes. Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui):
onde:
-
é o rotacional (curl) de , -
representa o vetor área orientado segundo a orientação escolhida de , -
é a fronteira orientada de , - a orientação da curva
é dada pela regra da mão direita: se o polegar aponta na direção do vetor normal de , os dedos enrolados mostram a orientação positiva da curva.
Explicando a aplicação: ao somarmos as duas partes de(cilindro lateral e disco superior) as suas fronteiras internas na circunferência se cancelam (uma induz a orientação contrária da outra), sobrando como fronteira de apenas a circunferência em . Logo podemos substituir a integral de superfície pela integral de linha ao longo dessa circunferência:
onde
é a curva
com a orientação induzida pela escolha dada (vamos determinar explicitamente essa orientação).
Passo 3
Determinar a orientação de
. Para o cilindro lateral podemos usar a parametrização
Calculamos os vetores tangentes:
O produto vetorial
aponta radialmente para fora, ou seja, é a normal escolhida (cilindro orientado para fora). Com essa parametrização, a orientação da curva na aresta inferior
fica dada por
crescente (essa escolha garante que as orientações na aresta superior se cancelem com as do disco superior). Portanto tomamos a parametrização da curva
como
ou seja,
aumenta (orientação contrária à borda do disco superior, como deve ser). O vetor diferencial é
Passo 4
Avaliar
na curva
e calcular
. Para
temos
. Substituindo em cada componente de
:
Primeira componente:
Segunda componente: note que
, então
Terceira componente (não será necessária porque
na curva):
Agora o produto escalar
só envolve as duas primeiras componentes porque
:
Calcule os fatores numéricos:
e
. Logo
Usamos a identidade algébrica (dica do enunciado):
Portanto o integrando simplifica para
, e a integral de linha é
Passo 5
Calcule a integral final:
Logo, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de superfície pedida vale
. Força aí nos estudos — foi uma simplificação bonita: o termo em
não contribuiu porque
na curva e a identidade
fechou o cálculo.