• Questāo 3. \_\_\_\_
    (2.5 pt) Calcule \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde \vec{F}(x, y, z)=y^{3} z^{2} \vec{i}+x^{3} e^{x^{2}+y^{2}-2} \vec{j}+e^{x y^{2}} z \vec{k}, e S é a superficie formada pela uniāo do cilindro x^{2}+y^{2}=2, com -1 \leq z \leq 1 (orientado para fora) com o disco x^{2}+y^{2} \leq 2 contido no plano z=1 (orientado para cima). O uso do Teorema de Stokes é obrigatório.
    Dica: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}
onde a campo vetorial é
\vec{F}(x,y,z)=y^{3}z^{2}\,\vec{i}+x^{3}e^{x^{2}+y^{2}-2}\,\vec{j}+e^{x y^{2}}z\,\vec{k},
e a superfície S é a união do cilindro lateral x^{2}+y^{2}=2, com -1\le z\le1 (orientado para fora) e do disco x^{2}+y^{2}\le2 no plano z=1 (orientado para cima). O enunciado exige o uso do Teorema de Stokes.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é composta por duas partes que se encontram na circunferência x^{2}+y^{2}=2 em z=1.
  • As orientações foram especificadas: cilindro orientado para fora (normal radial para fora) e disco no topo orientado para cima.
  • A superfície S tem, portanto, apenas uma curva de contorno livre: a circunferência em z=-1 (pois a circunferência em z=1 é fronteira comum que se anula entre cilindro e disco).
  • Meta final: calcular o valor numérico da integral \iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Stokes. Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui):
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} \;=\; \oint_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional (curl) de \vec{F},
  • d\vec{S} representa o vetor área orientado segundo a orientação escolhida de S,
  • \partial S é a fronteira orientada de S,
  • a orientação da curva \partial S é dada pela regra da mão direita: se o polegar aponta na direção do vetor normal de S, os dedos enrolados mostram a orientação positiva da curva.
    Explicando a aplicação: ao somarmos as duas partes de S (cilindro lateral e disco superior) as suas fronteiras internas na circunferência z=1 se cancelam (uma induz a orientação contrária da outra), sobrando como fronteira de S apenas a circunferência em z=-1. Logo podemos substituir a integral de superfície pela integral de linha ao longo dessa circunferência:
\iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} \;=\; \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde C é a curva x^{2}+y^{2}=2,\; z=-1 com a orientação induzida pela escolha dada (vamos determinar explicitamente essa orientação).

Passo 3

Determinar a orientação de C. Para o cilindro lateral podemos usar a parametrização
\vec{R}(\theta,z)=\big(\sqrt{2}\cos\theta,\;\sqrt{2}\sin\theta,\;z\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,\; -1\le z\le1.
Calculamos os vetores tangentes:
\frac{\partial\vec{R}}{\partial\theta}=(-\sqrt{2}\sin\theta,\;\sqrt{2}\cos\theta,\;0), \qquad \frac{\partial\vec{R}}{\partial z}=(0,0,1).
O produto vetorial
\frac{\partial\vec{R}}{\partial\theta}\times\frac{\partial\vec{R}}{\partial z} = \sqrt{2}(\cos\theta,\;\sin\theta,\;0)
aponta radialmente para fora, ou seja, é a normal escolhida (cilindro orientado para fora). Com essa parametrização, a orientação da curva na aresta inferior z=-1 fica dada por \theta crescente (essa escolha garante que as orientações na aresta superior se cancelem com as do disco superior). Portanto tomamos a parametrização da curva C como
\vec{r}(\theta)=\big(\sqrt{2}\cos\theta,\;\sqrt{2}\sin\theta,\;-1\big),\qquad 0\le\theta\le2\pi,
ou seja, \theta aumenta (orientação contrária à borda do disco superior, como deve ser). O vetor diferencial é
d\vec{r}=\vec{r}\,'(\theta)\,d\theta = (-\sqrt{2}\sin\theta,\;\sqrt{2}\cos\theta,\;0)\,d\theta.

Passo 4

Avaliar \vec{F} na curva C e calcular \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}. Para \vec{r}(\theta) temos x=\sqrt{2}\cos\theta,\; y=\sqrt{2}\sin\theta,\; z=-1. Substituindo em cada componente de \vec{F}:
Primeira componente:
y^{3}z^{2} = (\sqrt{2}\sin\theta)^{3}\cdot(-1)^{2} = (\sqrt{2})^{3}\sin^{3}\theta = 2\sqrt{2}\,\sin^{3}\theta.
Segunda componente: note que x^{2}+y^{2}=2, então
x^{3}e^{x^{2}+y^{2}-2} = x^{3}e^{2-2} = x^{3} = (\sqrt{2}\cos\theta)^{3} = 2\sqrt{2}\,\cos^{3}\theta.
Terceira componente (não será necessária porque dz=0 na curva):
e^{x y^{2}}z = -\,e^{(\sqrt{2}\cos\theta)\cdot(2\sin^{2}\theta)} = -\,e^{2\sqrt{2}\cos\theta\sin^{2}\theta}.
Agora o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} só envolve as duas primeiras componentes porque dz=0:
\vec{F}\cdot d\vec{r} = \big(2\sqrt{2}\sin^{3}\theta\big)(-\sqrt{2}\sin\theta\,d\theta) + \big(2\sqrt{2}\cos^{3}\theta\big)(\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta).
Calcule os fatores numéricos: 2\sqrt{2}\cdot(-\sqrt{2})=-4 e 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4. Logo
\vec{F}\cdot d\vec{r} = \big(-4\sin^{4}\theta + 4\cos^{4}\theta\big)\,d\theta = 4\big(\cos^{4}\theta-\sin^{4}\theta\big)\,d\theta.
Usamos a identidade algébrica (dica do enunciado):
\cos^{4}\theta-\sin^{4}\theta = (\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) = \cos 2\theta \cdot 1 = \cos 2\theta.
Portanto o integrando simplifica para 4\cos 2\theta, e a integral de linha é
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi} 4\cos 2\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcule a integral final:
\int_{0}^{2\pi} 4\cos 2\theta\,d\theta =4\left[\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{2\pi} =2\big(\sin(4\pi)-\sin 0\big)=2(0-0)=0.
Logo, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de superfície pedida vale 0. Força aí nos estudos — foi uma simplificação bonita: o termo em z não contribuiu porque dz=0 na curva e a identidade \cos^{4}-\sin^{4}=\cos2\theta fechou o cálculo.

Resposta

0

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