Questão 3 (3 pt) Encontre um potencial phi(x, y, z) para o campo vetorial conservativo abaixo
V=(y z+3 y-1) i+(x z+3 x-2 z) j+(x y-2 y+2 z) k

Passo 1

O enunciado pede uma função potencial phi(x,y,z) para o campo vetorial conservativo
V = (y z + 3y - 1),i + (x z + 3x - 2z),j + (x y - 2y + 2z),k
Isto significa que devemos achar phi tal que
nablaphi = l(partialphipartial x,,partialphipartial y,,partialphipartial zr) =(y z + 3y - 1,;x z + 3x - 2z,;x y - 2y + 2z)
Vamos integrar sucessivamente as derivadas parciais.

Passo 2

Integramos a condição
partialphipartial x=y z+3y-1
em relação a x. Isso dá
phi(x,y,z) =integral (y z+3y-1),dx = x(y z+3y-1) + C(y,z),
isto é,
phi(x,y,z)=x y z + 3x y - x + C(y,z),
onde C(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 3

Agora impomos
partialphipartial y stackrel!=x z+3x-2z
Calculando a derivada de nossa expressão,
partialphipartial y =x z + 3x + partial Cpartial y
Comparando com o valor exigido,
x z + 3x + partial Cpartial y = x z + 3x - 2z Longrightarrow partial Cpartial y = -2z
Integrando em y,
C(y,z) = integral(-2z),dy = -2y z + D(z),
onde D(z) depende só de z.

Passo 4

Por fim, usamos
partialphipartial z stackrel!=x y-2y+2z
Nossa expressão para phi ficou
phi(x,y,z)=x y z + 3x y - x - 2y z + D(z)
Dessa forma,
partialphipartial z = x y - 2y + D'(z) stackrel!=x y - 2y + 2z Longrightarrow D'(z)=2z
Integrando em z,
D(z)=integral 2z,dz = z^2 + constante

Resposta

Escolhendo a constante zero, uma função potencial é
phi(x,y,z)=x y z + 3x y - x - 2y z + z^2

Exercícios relacionados