Sejam vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e vec{w}=(3,2) vetores.
Determine um vetor perpendicular a \overrightarrow{u-v} e com módulo igual a 2;

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um vetor que seja perpendicular a \overrightarrow{u-v} e que tenha módulo igual a 2. Informações fornecidas:
\vec{u}=(-2,3), \vec{v}=(0,3) e \vec{w}=(3,2).
A pergunta explícita é: encontrar um vetor \vec{z} tal que (i) \vec{z} é perpendicular a \overrightarrow{u-v} e (ii) \|\vec{z}\|=2.
Observação: os componentes de \vec{u} e \vec{v} foram dados no enunciado.

Passo 2

Primeiro calculemos \overrightarrow{u-v} subtraindo componente a componente:
\vec{u}-\vec{v}=(-2,3)-(0,3)=(-2-0,\;3-3)=(-2,0).
Portanto \overrightarrow{u-v}=(-2,0).

Passo 3

Agora precisamos entender o que significa “perpendicular” em coordenadas. Se temos dois vetores (a,b) e (x,y) em \mathbb{R}^2, o produto escalar (dot product) é
(a,b)\cdot(x,y)=ax+by.
Dois vetores são perpendiculares (ortogonais) se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, queremos (\overrightarrow{u-v})\cdot\vec{z}=0.

Passo 4

Aplique isso ao nosso vetor \overrightarrow{u-v}=(-2,0). Seja \vec{z}=(x,y) um vetor perpendicular. Então
(-2,0)\cdot(x,y)=-2x+0\cdot y=-2x=0.
Daqui segue que x=0. Portanto qualquer vetor perpendicular a (-2,0) tem a forma (0,y) (ou seja, é um vetor puramente vertical).

Passo 5

Agora impomos a condição de módulo. A norma (módulo) de um vetor (x,y) é dada por
\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}.
Para vetores da forma (0,y) isso vira
\|(0,y)\|=\sqrt{0^2+y^2}=|y|.
Queremos |y|=2, logo y=2 ou y=-2. Assim os vetores que satisfazem ambas as condições são (0,2) e (0,-2).

Passo 6

Verificação rápida: calcule o produto escalar para confirmar a perpendicularidade e calcule a norma para confirmar o módulo.
(-2,0)\cdot(0,2)= -2\cdot 0 + 0\cdot 2=0,
\|(0,2)\|=\sqrt{0^2+2^2}=2.
E para (0,-2):
(-2,0)\cdot(0,-2)=0,\qquad \|(0,-2)\|=2.
Ambos funcionam.

Resposta

(0,2)
(0,-2)

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