Questão 2 ( 1,0 pt) Se y(t) é solução de y^{\prime}+3 y=0, y(0)=2 então \mathcal{L}[y(t)]=
\frac{2}{s+3}
\frac{3}{s+2}
\frac{1}{(s+2)(s+3)} \frac{1}{(s-2)(s-3)}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a transformada de Laplace da solução:
  • Dados: \;y'(t)+3y(t)=0.
  • Condição inicial: \;y(0)=2.
  • Pedido: calcular \mathcal{L}[y(t)] (a transformada de Laplace da função y(t)).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar explicitamente y(t). A equação
y'(t)+3y(t)=0
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, homogênea, com coeficiente constante. Podemos resolver por separação de variáveis. Escrevendo y'= \dfrac{dy}{dt} e separando:
\frac{dy}{dt} = -3y.
Separe as variáveis y e t:
\frac{1}{y}\,dy = -3\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -3\,dt.
As integrais dão
\ln|y| = -3t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C} e^{-3t}.
Subsumimos o sinal e a constante em uma única constante A (podendo ser positiva ou negativa):
y(t) = A e^{-3t}.

Passo 4

Use a condição inicial \;y(0)=2 para determinar A. Avaliando em t=0:
y(0)=A e^{0}=A = 2.
Logo
y(t)=2e^{-3t}.

Passo 5

Agora vamos calcular \mathcal{L}[y(t)]. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (para t\ge 0),
\mathcal{L}[f(t)](s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (no cálculo básico tratamos s real e com parte real suficientemente grande para garantir convergência). Aqui f(t)=y(t)=2e^{-3t}.

Passo 6

Aplicando a definição:
\mathcal{L}[y(t)](s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 2e^{-3t}\,dt =2\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt.
Esta é uma integral exponencial impropriamente definida que converge se \operatorname{Re}(s+3)>0, i.e. \operatorname{Re}(s)>-3. Calcule a integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt =\left[\frac{e^{-(s+3)t}}{-(s+3)}\right]_{0}^{\infty}.
Quando \operatorname{Re}(s+3)>0 o termo em t\to\infty anula, e no t=0 o exponencial vale 1. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt = \frac{1}{s+3}.
Multiplicando pelo 2 que estava fora:
\mathcal{L}[y(t)](s)=2\cdot\frac{1}{s+3}=\frac{2}{s+3}.

Passo 7

(Observação útil para a prova) Há uma fórmula pronta frequentemente usada: para a constante,
\mathcal{L}[e^{-at}](s)=\frac{1}{s+a},
valendo para \operatorname{Re}(s)>-a. No nosso caso multiplicamos por 2, então \mathcal{L}[2e^{-3t}]=2\cdot\frac{1}{s+3}=\frac{2}{s+3}. Isso confirma o resultado anterior de forma rápida.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{s+3}

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