Questão 2 ( 1,0 pt) Se
é solução de
então
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial e pede a transformada de Laplace da solução:
- Dados:
. - Condição inicial:
. - Pedido: calcular
(a transformada de Laplace da função ).
Passo 2
Primeiro precisamos encontrar explicitamente
. A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, homogênea, com coeficiente constante. Podemos resolver por separação de variáveis. Escrevendo
e separando:
Separe as variáveis
e
:
Passo 3
Integramos ambos os lados (integração indefinida):
As integrais dão
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Subsumimos o sinal e a constante em uma única constante
(podendo ser positiva ou negativa):
Passo 4
Use a condição inicial
para determinar
. Avaliando em
:
Logo
Passo 5
Agora vamos calcular
. Primeiro lembro a definição da transformada de Laplace: para uma função
(para
),
onde
é uma variável complexa (no cálculo básico tratamos
real e com parte real suficientemente grande para garantir convergência). Aqui
.
Passo 6
Aplicando a definição:
Esta é uma integral exponencial impropriamente definida que converge se
, i.e.
. Calcule a integral:
Quando
o termo em
anula, e no
o exponencial vale
. Portanto
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 7
(Observação útil para a prova) Há uma fórmula pronta frequentemente usada: para
constante,
valendo para
. No nosso caso multiplicamos por
, então
. Isso confirma o resultado anterior de forma rápida.