Questão 1 ( 1,0 pt) Usando integração de transformadas de Laplace, encontre f(t) se \mathcal{L}[f(t)]=\ln \frac{s}{s-1}.\n \square 6 t e^{-t}\n \square \frac{1}{t}\left(e^{t}+1\right)\n \square 6 t e^{t}\n \square \frac{1}{t}\left(e^{t}-1\right)\n \square \frac{1}{t^{2}}\left(e^{t}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar f(t) tal que \mathcal{L}[f(t)]=\ln\frac{s}{s-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A transformada de Laplace de f é \ln\frac{s}{s-1}.
  • Devemos escolher entre as alternativas:
    \, \boxed{6\,t\,e^{-t}},\; \boxed{\frac{1}{t}\left(e^{t}+1\right)},\; \boxed{6\,t\,e^{t}},\; \boxed{\frac{1}{t}\left(e^{t}-1\right)},\; \boxed{\frac{1}{t^{2}}\left(e^{t}-1\right)}.
  • A expressão \ln\frac{s}{s-1} exige s>1 para fazer sentido na região de convergência.
    Nada mais será assumido aqui — só as informações acima.

Passo 2

Lembrete básico (definição): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}[f](s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
quando a integral converge. Vou usar essa definição para testar uma candidata que gere \ln\frac{s}{s-1}.

Passo 3

Observação útil (identificar padrão): se eu considerar a função
f(t)=\frac{e^{t}-1}{t},
então sua transformada de Laplace é
\mathcal{L}\!\left[\frac{e^{t}-1}{t}\right](s) =\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,\frac{e^{t}-1}{t}\,dt.
Agora manipulo a integranda para ficar numa forma conhecida:
e^{-s t}\,(e^{t}-1)=e^{-(s-1)t}-e^{-s t},
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\mathcal{L}\!\left[\frac{e^{t}-1}{t}\right](s) =\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-(s-1)t}-e^{-s t}}{t}\,dt.

Passo 4

Vou usar a identidade integral que é clássica e muito útil (e que dá pra justificar com Fubini): para p>0 e q>0,
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-p t}-e^{-q t}}{t}\,dt=\ln\frac{q}{p}.
Prova curta da identidade (intuição rigorosa): escrevemos
e^{-p t}-e^{-q t}=\int_{p}^{q}\frac{\partial}{\partial \alpha}e^{-\alpha t}\,d\alpha=\int_{p}^{q}(-t)e^{-\alpha t}\,d\alpha,
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\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-p t}-e^{-q t}}{t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\int_{p}^{q}(-1)e^{-\alpha t}\,d\alpha\,dt.
Trocando a ordem de integração (válido porque as funções são positivas e integráveis para p,q>0) obtemos
\int_{p}^{q}\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha t}\,dt\,d\alpha=\int_{p}^{q}\frac{1}{\alpha}\,d\alpha=\ln\frac{q}{p}.
Aplicando essa identidade ao caso do Passo 3, tomamos p=s-1 e q=s (ambos positivos se s>1). Assim
\mathcal{L}\!\left[\frac{e^{t}-1}{t}\right](s)=\ln\frac{s}{s-1}.

Passo 5

Concluímos que a função cuja transformada de Laplace é \ln\frac{s}{s-1} é
f(t)=\frac{e^{t}-1}{t},
com região de convergência s>1. Entre as alternativas fornecidas, a correta é \frac{1}{t}\left(e^{t}-1\right).

Resposta

\frac{1}{t}\left(e^{t}-1\right)

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