Questão 1 ( 1,0 pt) Usando integração de transformadas de Laplace, encontre
se
.\n
\n
\n
\n
\n
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
tal que
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A transformada de Laplace de
é . - Devemos escolher entre as alternativas:
- A expressão
exige para fazer sentido na região de convergência.
Nada mais será assumido aqui — só as informações acima.
Passo 2
Lembrete básico (definição): a transformada de Laplace de uma função
é
quando a integral converge. Vou usar essa definição para testar uma candidata que gere
.
Passo 3
Observação útil (identificar padrão): se eu considerar a função
então sua transformada de Laplace é
Agora manipulo a integranda para ficar numa forma conhecida:
logo
Passo 4
Vou usar a identidade integral que é clássica e muito útil (e que dá pra justificar com Fubini): para
e
,
Prova curta da identidade (intuição rigorosa): escrevemos
logo
Trocando a ordem de integração (válido porque as funções são positivas e integráveis para
) obtemos
Aplicando essa identidade ao caso do Passo 3, tomamos
e
(ambos positivos se
). Assim
Passo 5
Concluímos que a função cuja transformada de Laplace é
é
com região de convergência
. Entre as alternativas fornecidas, a correta é
.