Questão 6. (1,5 ptos.) Calcule \int_{C}(2 x-y) d x+(x+3 y) d y, onde C é o arco da parábola y=1-x^{2} de (0,1) a (1,0).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} (2x-y)\,dx + (x+3y)\,dy,
onde C é o arco da parábola y=1-x^{2} que vai do ponto (0,1) até o ponto (1,0).
Informações dadas:
  • A função a integrar tem as componentes P(x,y)=2x-y e Q(x,y)=x+3y.
  • A curva C é o arco da parábola y=1-x^{2} entre os pontos (0,1) e (1,0).
  • O que se pede: o valor numérico da integral de linha \displaystyle\int_{C} P\,dx + Q\,dy.

Passo 2

Escolher uma parametrização para C. Como a curva está dada explicitamente por y em função de x, a parametrização natural é usar x como parâmetro. Defino
x(t)=t,\qquad y(t)=1-t^{2},
com t variando de 0 até 1 para percorrer o arco de (0,1) a (1,0). Assim os extremos ficam:
(x(0),y(0))=(0,1),\qquad (x(1),y(1))=(1,0).

Passo 3

Relacionar dx e dy ao parâmetro. Diferenciando,
dx = x'(t)\,dt = 1\cdot dt = dt, \qquad dy = y'(t)\,dt = (-2t)\,dt.
A fórmula para a integral de linha em termos do parâmetro é
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{t=a}^{t=b} \bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Aqui a=0 e b=1.

Passo 4

Calcular P(x(t),y(t)) e Q(x(t),y(t)). Substituo x=t e y=1-t^{2}:
P(x(t),y(t)) = 2t - (1-t^{2}) = 2t -1 + t^{2} = t^{2}+2t-1,
Q(x(t),y(t)) = t + 3(1-t^{2}) = t + 3 - 3t^{2} = -3t^{2} + t + 3.

Passo 5

Montar e simplificar o integrando P\,x' + Q\,y'. Sabendo x'=1 e y'=-2t,
P\,x' + Q\,y' = P - 2t\,Q.
Substituindo as expressões obtidas:
P - 2t\,Q = (t^{2}+2t-1) - 2t(-3t^{2}+t+3).
Agora desenvolvo o produto e somo termos:
-2t(-3t^{2}+t+3) = 6t^{3} -2t^{2} -6t.
Logo
P - 2t\,Q = t^{2}+2t-1 + 6t^{3} -2t^{2} -6t.
Agrupando termos semelhantes:
P - 2t\,Q = 6t^{3} + (t^{2}-2t^{2}) + (2t-6t) -1 = 6t^{3} - t^{2} -4t -1.

Passo 6

Agora calculo a integral no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \int_{0}^{1} \bigl(6t^{3} - t^{2} - 4t -1\bigr)\,dt.
Integro termo a termo. Antiderivadas:
\int 6t^{3}\,dt = \tfrac{6}{4}t^{4} = \tfrac{3}{2}t^{4}, \qquad \int -t^{2}\,dt = -\tfrac{1}{3}t^{3},
\int -4t\,dt = -2t^{2}, \qquad \int -1\,dt = -t.
Portanto a primitiva é
F(t)=\tfrac{3}{2}t^{4} - \tfrac{1}{3}t^{3} - 2t^{2} - t.
Avalio de 0 a 1:
F(1)-F(0)=\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{3} - 2 - 1.

Passo 7

Simplifico o resultado numérico:
\tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{9}{6} - \tfrac{2}{6} = \tfrac{7}{6}.
Então
\tfrac{7}{6} - 2 - 1 = \tfrac{7}{6} - \tfrac{12}{6} - \tfrac{6}{6} = \tfrac{7-12-6}{6} = -\tfrac{11}{6}.
Logo o valor da integral é -\tfrac{11}{6}.

Resposta

-\tfrac{11}{6}

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