Questão 6. (1,5 ptos.) Calcule
, onde
é o arco da parábola
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o arco da parábola
que vai do ponto
até o ponto
.
Informações dadas:
- A função a integrar tem as componentes
e . - A curva
é o arco da parábola entre os pontos e . - O que se pede: o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
Escolher uma parametrização para
. Como a curva está dada explicitamente por
em função de
, a parametrização natural é usar
como parâmetro. Defino
com
variando de
até
para percorrer o arco de
a
. Assim os extremos ficam:
Passo 3
Relacionar
e
ao parâmetro. Diferenciando,
A fórmula para a integral de linha em termos do parâmetro é
Aqui
e
.
Passo 4
Calcular
e
. Substituo
e
:
Passo 5
Montar e simplificar o integrando
. Sabendo
e
,
Substituindo as expressões obtidas:
Agora desenvolvo o produto e somo termos:
Logo
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora calculo a integral no intervalo
:
Integro termo a termo. Antiderivadas:
Portanto a primitiva é
Avalio de
a
:
Passo 7
Simplifico o resultado numérico:
Então
Logo o valor da integral é
.