Questão 1 (1,5 pts) Calcule a derivada das funções
y=2 x^{100}-4 \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{e^{x}}{10}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y = 2 x^{100} - 4 \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{e^{x}}{10}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a soma de três termos: 2 x^{100}, -4\frac{1}{\sqrt[3]{x}} e \frac{e^{x}}{10}.
  • Podemos reescrever \frac{1}{\sqrt[3]{x}} como x^{-1/3}.
    A derivada que queremos é y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática): a derivada é linear, ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada. Em notação:
\frac{d}{dx}\big( a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\big) = a\cdot f'(x) + b\cdot g'(x),
onde a,b são constantes. Vou aplicar isso termo a termo.

Passo 3

Outra regra essencial (aula rápida): regra da potência.
Se f(x)=x^{n} com n constante real, então
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Exemplo rápido: se f(x)=x^3 então f'(x)=3x^2.

Passo 4

Derivando o primeiro termo 2 x^{100}:
  • Use a linearidade (a constante 2 sai) e a regra da potência com n=100.
\frac{d}{dx}\big(2 x^{100}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}x^{100}=2\cdot(100 x^{99})=200 x^{99}.

Passo 5

Trabalhando o segundo termo: reescrevo
-4\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -4 x^{-1/3},
porque \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Agora aplico a regra da potência com n=-\tfrac{1}{3}:
\frac{d}{dx}x^{-1/3} = -\tfrac{1}{3} x^{-1/3-1} = -\tfrac{1}{3} x^{-4/3}.
Multiplicando pela constante -4:
\frac{d}{dx}\big(-4 x^{-1/3}\big) = -4\cdot\big(-\tfrac{1}{3} x^{-4/3}\big) = \tfrac{4}{3} x^{-4/3}.
Observação de forma alternativa (equivalente):
\tfrac{4}{3} x^{-4/3} = \frac{4}{3 x^{4/3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x^{4}}}.

Passo 6

Derivada do terceiro termo (aula rápida sobre exponencial): sabemos que
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Como o termo é \dfrac{e^{x}}{10} = \tfrac{1}{10} e^{x}, pela linearidade:
\frac{d}{dx}\Big(\tfrac{1}{10} e^{x}\Big)=\tfrac{1}{10} e^{x}.

Passo 7

Juntando tudo (soma das derivadas dos três termos), temos
y' = 200 x^{99} + \tfrac{4}{3} x^{-4/3} + \tfrac{1}{10} e^{x}.
Posso deixar em forma com raízes para quem prefere:
y' = 200 x^{99} + \frac{4}{3\sqrt[3]{x^{4}}} + \frac{1}{10} e^{x}.

Resposta

y' = 200 x^{99} + \dfrac{4}{3} x^{-4/3} + \dfrac{1}{10} e^{x}

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