5- (Unicamp-SP) Uma pessoa possui a quantia de R$7560,00 para comprar um terreno, cujo preço é de \mathrm{R} \15,00$ por metro quadrado. Considerando que os custos para obter a documentação do imóvel oneram o comprador em 5% do preço do terreno, pergunta-se:
a) Qual é o custo final de cada m 2 do terreno?
b) Qual é a área máxima que a pessoa pode adquirir com o dinheiro que ela possui?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • A pessoa tem a quantia de \text{R\$ }7560{,}00.
  • O preço do terreno é \text{R\$ }15{,}00 por metro quadrado.
  • Os custos de documentação oneram o comprador em 5\% do preço do terreno (ou seja, um acréscimo de 5\% sobre o preço do terreno).
  • Pergunta (a): Qual é o custo final de cada \text{m}^2 do terreno (ou seja, preço por \text{m}^2 já incluindo os 5\% de documentação)?
  • Pergunta (b): Qual é a área máxima que a pessoa pode adquirir com \text{R\$ }7560{,}00?

Passo 2

Entendendo o que significa "acréscimo de 5\%" e como usar isso em conta:
  • Quando dizemos que há um acréscimo de 5\% sobre um valor, transformamos esse acréscimo em um multiplicador: 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05.
  • Assim, o custo final por unidade (aqui por \text{m}^2) é o preço inicial multiplicado por 1{,}05.
  • Em fórmula, se P é o preço inicial por \text{m}^2 e C o custo final por \text{m}^2, então:
C = P \cdot 1{,}05.
Expliquei isso passo a passo: 5\% é \dfrac{5}{100}, somando ao valor original dá 1+\dfrac{5}{100}=1{,}05, daí multiplicar.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao preço dado:
  • O preço inicial é P=\text{R\$ }15{,}00.
  • Então
C = 15 \cdot 1{,}05.
Vou calcular de forma exata usando frações para ficar cristalino:
1{,}05=\frac{105}{100},
logo
C = 15\cdot\frac{105}{100}=\frac{1575}{100}=15{,}75.
Portanto o custo final por \text{m}^2 é \text{R\$ }15{,}75.

Passo 4

Agora para achar a área máxima que a pessoa pode comprar:
  • A ideia é dividir o montante disponível pelo custo por \text{m}^2.
  • Se M é o montante disponível ( \text{R\$ }7560{,}00) e C é o custo final por \text{m}^2, a área máxima A é
A = \frac{M}{C}.
Expliquei: cada metro quadrado custa C; com M reais, o número de metros quadrados é M dividido pelo custo unitário.

Passo 5

Calculemos numericamente:
  • M=\text{R\$ }7560{,}00 e C=15{,}75.
  • Faço a divisão convertendo 15{,}75 em fração para simplificar: 15{,}75 = 15+\tfrac{3}{4} = \tfrac{63}{4}.
  • Então
A = \frac{7560}{15{,}75} = 7560 \div \frac{63}{4} = 7560 \cdot \frac{4}{63}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{7560}{63}=120 \quad\text{(pois }63\cdot120=7560\text{)},
logo
A = 120\cdot 4 = 480.
Portanto a área máxima é 480\\ \text{m}^2.

Passo 6

Resumo final dos resultados (já calculados):
  • Custo final por \text{m}^2: \text{R\$ }15{,}75.
  • Área máxima com \text{R\$ }7560{,}00: 480\\ \text{m}^2.

Resposta

a) \text{R\$ }15{,}75 por \text{m}^2
b) 480\\ \text{m}^2

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