4- (Vunesp-SP) Um determinado carro popular custa numa revendedora R$11500,00 à vista. Numa promoção de Natal, realizada no mês de dezembro de 1998, com \mathrm{R} \5000,00 de entrada, um comprador tem o valor restante do carro facilitado pela revendedora em 36 prestações mensais, sendo que as prestações num mesmo ano são iguais e que a cada ano a prestação sofre um aumento deçõçõãçã10 % , relativamente à do ano anterior. Sabendo-se que a primeira prestação, a ser paga no mês de janeiro de 1999, éàçãêé\mathrm{R} $ 200,00$, determine:
a) quanto o comprador desembolsará ao final de cada ano, excluindo-se a entrada;
b) qual o valor total a ser desembolsado pelo comprador ao findar seus pagamentos.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados importantes:
  • Preço à vista do carro: \mathrm{R}\$ 11500,00.
  • Entrada paga no ato: \mathrm{R}\$ 5000,00.
  • Valor restante financiado: \mathrm{R}\$11500,00 - \mathrm{R}\$ 5000,00.
  • Financiamento dividido em 36 prestações mensais.
  • As prestações num mesmo ano são iguais (mesmo valor mensal durante o ano).
  • A cada ano a prestação mensal aumenta 10\% em relação à do ano anterior.
  • A primeira prestação, paga em janeiro de 1999, é \mathrm{R}\$ 200,00.
Perguntas do enunciado:
a) Quanto o comprador desembolsará ao final de cada ano, excluindo-se a entrada?
b) Qual o valor total a ser desembolsado pelo comprador ao findar seus pagamentos?

Passo 2

Primeiro vamos entender a organização das prestações no tempo. São 36 prestações mensais, ou seja:
  • 36 meses = 3 anos completos de 12 meses cada.
    Logo teremos exatamente 3 anos com prestações mensais constantes dentro de cada ano: ano 1 (12 prestações), ano 2 (12 prestações), ano 3 (12 prestações).

Passo 3

Agora vamos encontrar o valor da prestação mensal em cada ano, usando a ideia de aumento percentual. Se um valor aumenta 10\%, multiplicamos por 1+0,10=1,10.
A primeira prestação (ano 1, mês a mês) é dada: \mathrm{R}\$ 200,00.
A segunda prestação mensal (ano 2) é a do ano 1 aumentada em 10\%. Então:
\text{prestação mensal no ano 2} = 200 \times (1+0,10) = 200 \times 1,10.çã
Calculemos:
200 \times 1,10 = 220.
Portanto a prestação mensal do ano 2 é \mathrm{R}\$ 220,00.
A prestação mensal do ano 3 é a do ano 2 aumentada em 10\%. Podemos escrever também como 200 \times (1,10)^2. Vamos calcular:
\text{prestação mensal no ano 3} = 220 \times 1,10 = 242.çã
Ou diretamente:
200 \times (1,10)^2 = 200 \times 1,21 = 242.
Portanto a prestação mensal do ano 3 é \mathrm{R}\$ 242,00.

Passo 4

Agora vamos calcular quanto é desembolsado em cada ano, lembrando que cada ano tem 12 prestações iguais naquele ano. A fórmula simples é:
\text{total no ano} = 12 \times (\text{prestação mensal do ano}).çã
Ano 1:
12 \times 200 = 2400,
ou seja \mathrm{R}\$ 2400,00.
Ano 2:
12 \times 220 = 2640,
ou seja \mathrm{R}\$ 2640,00.
Ano 3:
12 \times 242 = 2904,
ou seja \mathrm{R}\$ 2904,00.

Passo 5

Verificação e interpretação: somando as três parcelas anuais obtemos o total pago em prestações ao longo dos 36 meses. Vamos somar:
2400 + 2640 + 2904 = 7944.
Portanto o total pago em prestações (excluindo a entrada) é \mathrm{R}\$ 7944,00.
Observação pedagógica rápida: poderíamos também tratar os totais anuais como uma progressão geométrica com primeiro termo 12\times 200 e razão 1,10. A soma de 3 termos dessa PG daria o mesmo resultado.

Passo 6

Por fim, a pergunta (b) pede o valor total desembolsado pelo comprador ao findar seus pagamentos. Aqui devemos somar a entrada com o total das prestações. A entrada foi \mathrm{R}\$ 5000,00. Então:
\text{total geral} = \text{entrada} + \text{total das prestações} = 5000 + 7944 = 12944.çõ
Portanto o valor total desembolsado ao final é \mathrm{R}\$ 12944,00.
Um comentário de ânimo: mesmo que pareça muita conta, o raciocínio é só organizar anos, multiplicar por 12 e aplicar aumentos percentuais com fator 1+r. Você já está mandando bem — respira, repassa esses passos e fixou!

Resposta

(a) Ano 1999: \mathrm{R}\$2400,00; Ano 2000: \mathrm{R}\$ 2640,00; Ano 2001: \mathrm{R}\$ 2904,00.
(b) Valor total desembolsado ao findar os pagamentos (incluindo a entrada): \mathrm{R}\$ 12944,00.

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