Questão 1 (1,5 pts) Calcule a derivada das funções
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas/observações que extraí do enunciado:
- A função está escrita como quociente de duas funções: numerador
e denominador . - A função tangente aparece como
(vou tratar como , que é o mesmo). - Devemos lembrar que
não está definida quando , isto é em , . - Além disso, pontos onde
(isto é ) também tornam o valor original indefinido; isso ocorre em , . - O pedido é apenas obter
(a derivada), portanto preciso de uma expressão envolvendo que seja válida nos pontos do domínio onde a função está definida.
Passo 2
Escolha do método: como a função é um quociente
com
e
, o método direto é usar a regra do quociente. Alternativa seria reescrever como produto
e usar regra do produto + cadeia — é equivalente; a regra do quociente é mais direta aqui.
Vou usar duas fórmulas básicas (explico a seguir): a regra do quociente e a derivada de .
Vou usar duas fórmulas básicas (explico a seguir): a regra do quociente e a derivada de
Passo 3
Regra do quociente (explicação e fórmula): seja
com
e
diferenciáveis e
. A derivada é dada por
Aqui:
-
é o numerador da fração, -
é o denominador, -
é a derivada de em relação a , -
é a derivada de em relação a .
Exemplo rápido para fixar: paraaplicaríamos a mesma fórmula substituindo e .
Passo 4
Derivadas das partes: identifiquemos
e
e calculemos
e
.
- Tome
. Então
pois a derivada de
em relação a
é
.
- Tome
. A derivada de é , então precisamos da derivada de . Lembrete/formula: a derivada de é . Vou mostrar rapidamente por que:
Aplicando a regra do quociente à razão
:
Portanto
Lembrando que
e
. Também existe a identidade
, que pode ser útil para reescrever.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente com
,
,
e
:
Mostrando passo a passo o numerador:
então o numerador fica
. O denominador é
.
Passo 6
Opcionalmente podemos usar a identidade
para obter uma forma alternativa:
Isso pode ser expandido se for útil em algum exercício ou comparação, mas não melhora necessariamente a simplicidade.
Também é importante lembrar o domínio da derivada: a expressão só faz sentido onde
e
estão definidos e onde
. Portanto
existe apenas para
tais que
e
Se precisar, na prova é bom mencionar essas restrições de domínio.