Questão 1 (1,5 pts) Calcule a derivada das funções
y=\frac{x}{1+\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\frac{x}{1+\operatorname{tg} x}.
Informações dadas/observações que extraí do enunciado:
  • A função está escrita como quociente de duas funções: numerador x e denominador 1+\operatorname{tg} x.
  • A função tangente aparece como \operatorname{tg} x (vou tratar como \tan x, que é o mesmo).
  • Devemos lembrar que \tan x não está definida quando \cos x=0, isto é em x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Além disso, pontos onde 1+\tan x=0 (isto é \tan x=-1) também tornam o valor original indefinido; isso ocorre em x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • O pedido é apenas obter y' (a derivada), portanto preciso de uma expressão envolvendo x que seja válida nos pontos do domínio onde a função está definida.

Passo 2

Escolha do método: como a função é um quociente \dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=x e v(x)=1+\tan x, o método direto é usar a regra do quociente. Alternativa seria reescrever como produto x\cdot(1+\tan x)^{-1} e usar regra do produto + cadeia — é equivalente; a regra do quociente é mais direta aqui.
Vou usar duas fórmulas básicas (explico a seguir): a regra do quociente e a derivada de \tan x.

Passo 3

Regra do quociente (explicação e fórmula): seja \displaystyle y=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0. A derivada é dada por
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui:
  • u(x) é o numerador da fração,
  • v(x) é o denominador,
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x,
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    Exemplo rápido para fixar: para \dfrac{x^2}{\sin x} aplicaríamos a mesma fórmula substituindo u=x^2 e v=\sin x.

Passo 4

Derivadas das partes: identifiquemos u e v e calculemos u' e v'.
  • Tome u(x)=x. Então
u'(x)=1,
pois a derivada de x em relação a x é 1.
  • Tome v(x)=1+\tan x. A derivada de 1 é 0, então precisamos da derivada de \tan x. Lembrete/formula: a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x. Vou mostrar rapidamente por que:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Aplicando a regra do quociente à razão \sin x/\cos x:
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(1+\tan x\big)=0+\operatorname{sec}^2 x=\operatorname{sec}^2 x.
Lembrando que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \operatorname{sec}^2 x=1/\cos^2 x. Também existe a identidade \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x, que pode ser útil para reescrever.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente com u(x)=x, u'(x)=1, v(x)=1+\tan x e v'(x)=\operatorname{sec}^2 x:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(1+\tan x)-x\cdot\operatorname{sec}^2 x}{(1+\tan x)^{2}}.
Mostrando passo a passo o numerador:
1\cdot(1+\tan x)=1+\tan x,
x\cdot\operatorname{sec}^2 x = x\operatorname{sec}^2 x,
então o numerador fica 1+\tan x - x\operatorname{sec}^2 x. O denominador é (1+\tan x)^2.

Passo 6

Opcionalmente podemos usar a identidade \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x para obter uma forma alternativa:
y'=\frac{1+\tan x - x(1+\tan^2 x)}{(1+\tan x)^{2}}.
Isso pode ser expandido se for útil em algum exercício ou comparação, mas não melhora necessariamente a simplicidade.
Também é importante lembrar o domínio da derivada: a expressão só faz sentido onde \tan x e \operatorname{sec}^2 x estão definidos e onde 1+\tan x\neq0. Portanto y' existe apenas para x tais que
x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{(onde }\tan x\text{ não existe)}ã
e
x\neq -\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{(onde }1+\tan x=0\text{)}.
Se precisar, na prova é bom mencionar essas restrições de domínio.

Resposta

y'=\frac{1+\tan x - x\operatorname{sec}^2 x}{(1+\tan x)^{2}}

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