Questão 2) (3 pts) Calcule as derivadas:
f(x)=\sqrt{x} \sin (\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}\,\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • A função está escrita com \sqrt{x}; isso sugere que o domínio natural é x\ge 0.
  • O objetivo é obter f'(x) (a derivada) para os valores de x do domínio.
  • Em particular, é importante verificar o que acontece em x=0, porque \sqrt{x} e termos com \dfrac{1}{\sqrt{x}} podem causar indeterminações.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função de forma que as regras de derivação fiquem claras. Uso a notação de potência:
\sqrt{x}=x^{1/2},
logo
f(x)=x^{1/2}\sin\bigl(x^{1/2}\bigr).
Essa reescrita facilita aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vou aplicar a regra do produto. Lembrete da regra do produto (explicando bem): se duas funções u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui tomo
u(x)=x^{1/2},\qquad v(x)=\sin\bigl(x^{1/2}\bigr).
Então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calculo u'(x). Uso a regra da potência: a derivada de x^n é n x^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac{1}{2},
u'(x)=\left(x^{1/2}\right)'=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação: essa expressão está bem definida para x>0; em x=0 a forma \dfrac{1}{2\sqrt{x}} não é escrita diretamente, mas trataremos x=0 separadamente.

Passo 5

Calculo v'(x). Aqui uso a regra da cadeia: se v(x)=\sin\bigl(g(x)\bigr), então v'(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x). Tomando g(x)=x^{1/2} temos g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Portanto
v'(x)=\cos\bigl(x^{1/2}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Substituo u'(x), u(x), v'(x) e v(x) na fórmula da regra do produto:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\bigl(x^{1/2}\bigr)+x^{1/2}\cdot\left(\cos\bigl(x^{1/2}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\right).
Agora simplifico o segundo termo: x^{1/2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2}. Assim obtemos, para x>0,
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)+\frac{1}{2}\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr).

Passo 7

Faço uma simplificação útil e que evidencia o comportamento quando x\to0: fatoro \tfrac{1}{2},
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{\sqrt{x}}+\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\right),\qquad x>0.
Essa forma mostra que, apesar de termos aparecido \dfrac{1}{\sqrt{x}} isoladamente antes, a combinação é bem comportada quando x se aproxima de 0.

Passo 8

Agora verifico o caso x=0 com a definição de derivada. Observando que f(0)=\sqrt{0}\sin(\sqrt{0})=0, calculo
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h}\sin\bigl(\sqrt{h}\bigr)}{h}.
Faço a mudança t=\sqrt{h} (então h=t^2 e h\to0\iff t\to0), ficando
f'(0)=\lim_{t\to0}\frac{t\sin t}{t^2}=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Também pela expressão obtida em x>0, fazendo x\to0 temos \dfrac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\to1 e \cos(\sqrt{x})\to1, o que dá o mesmo limite 1. Portanto a derivada existe em x=0 e vale 1.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\bigl(\sqrt{x}\bigr)}{\sqrt{x}}+\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)\right),\quad x>0
f'(0)=1

Exercícios relacionados