Questão 2) (3 pts) Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
- A função está escrita com
; isso sugere que o domínio natural é . - O objetivo é obter
(a derivada) para os valores de do domínio. - Em particular, é importante verificar o que acontece em
, porque e termos com podem causar indeterminações.
Passo 2
Primeiro reescrevo a função de forma que as regras de derivação fiquem claras. Uso a notação de potência:
logo
Essa reescrita facilita aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Vou aplicar a regra do produto. Lembrete da regra do produto (explicando bem): se duas funções
e
são diferenciáveis, então
Aqui tomo
Então
Passo 4
Calculo
. Uso a regra da potência: a derivada de
é
. Aplicando com
,
Observação: essa expressão está bem definida para
; em
a forma
não é escrita diretamente, mas trataremos
separadamente.
Passo 5
Calculo
. Aqui uso a regra da cadeia: se
, então
. Tomando
temos
. Portanto
Passo 6
Substituo
,
,
e
na fórmula da regra do produto:
Agora simplifico o segundo termo:
. Assim obtemos, para
,
Passo 7
Faço uma simplificação útil e que evidencia o comportamento quando
: fatoro
,
Essa forma mostra que, apesar de termos aparecido
isoladamente antes, a combinação é bem comportada quando
se aproxima de
.
Passo 8
Agora verifico o caso
com a definição de derivada. Observando que
, calculo
Faço a mudança
(então
e
), ficando
Também pela expressão obtida em
, fazendo
temos
e
, o que dá o mesmo limite
. Portanto a derivada existe em
e vale
.