Questão 2 (4.0 pts.) Calcule as integrais abaixo:
integralD raiz(x^2+y^2) d A, D: x^2+(y-1)^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral duplaDraizx^2+y^2,dA
onde D é o disco de raio 1 centrado em (0,1), isto é
D:;x^2+(y-1)^2<=1
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, já que a integranda e a região ficam mais simples.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
;x=rcostheta,;y=rsintheta,
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raizx^2+y^2=r
e
,dA=r,dr,dtheta.
A condição da região fica
x^2+(y-1)^2<=1 ;Longrightarrow; r^2-2rsintheta+1<=1 ;Longrightarrow; r(r-2sintheta)<=0,
ou seja 0<= r<=2sintheta. Como precisamos de r>=0 e sintheta>=0, concluímos thetain[0,pi].

Passo 3

Montamos a integral em polares. Como raizx^2+y^2=r e dA=r,dr,dtheta,
integral duplaDraizx^2+y^2,dA =integral0^piintegral0^2sinthetarcdot r,dr,dtheta =integral0^piintegral0^2sinthetar^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^2sinthetar^2,dr =(2sintheta)^33 =83sin^3theta
Assim a dupla integral vira
integral0^pi83sin^3theta,dtheta

Passo 5

Agora faltou a parte em theta. Usa-se a redução de potência:
integral0^pisin^3theta,dtheta =2integral0^pi/2sin^3theta,dtheta =2cdot23 =43
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integral duplaDraizx^2+y^2,dA =83cdot43 =329

Resposta

329

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