Questão 1 (2.0 pts) Determine a massa do sólido W limitado dentro da semi esfera S1:ccx^2+y^2+z^2 & =9 z & >= 0 e fora da esfera S2: x^2+y^2+(z-1)^2=1, sabendo-se que sua densidade é dada por f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
e fora da esfera
sabendo que a densidade é (f(x,y,z)=\frac1{x{2}+y{2}+z^{2}}].
O conteúdo envolvido é integral tripla em coordenadas esféricas para calcular massa com densidade variável.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi].
A meia-esfera S1 é rho=3 e phiin[0,tfracpi2].
A esfera S2 em esféricas satisfaz
rho^2-2rhocosphi+1-1=0Longrightarrow rho=2cosphi
Como queremos o interior de S1 ( rho<=3, phi<=pi/2) e fora de S2 ( rho>=2cosphi), a região W fica
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi2, 2cosphi<=rho<=3

Passo 3

A massa é dada por
M=integral triplaW1x^2+y^2+z^2,dV =integral0^2pi!integral0^pi2!integral2cosphi^3 1rho^2;l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta
O fator rho^2 se simplifica, restando
M=integral0^2pidtheta;integral0^pi2sinphi l[integral2cosphi^3drhor]dphi

Passo 4

O integral em rho é
integral2cosphi^3drho=3-2cosphi,
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M=integral0^2pidtheta;integral0^pi2(3-2cosphi)sinphi,dphi
Calculando em phi:
integral0^pi2(3sinphi-2cosphisinphi),dphi =l[-3cosphi-sin^2phir]0^pi2=2
Multiplicando por integral0^2pidtheta=2pi, obtemos
M=2cdot2pi=4pi

Resposta

A massa do sólido W é 4pi.

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