Seja f: R R de classe C^1. Prove que a função F: R^2 R dada abaixo é diferenciável se x neq y. Mostre que se f é de classe C^2, então F é diferenciável em R^2.
F(x, y)=c f(y)-f(x)y-x, se x neq y f^prime(x), se x=y

Passo 1

O enunciado define uma função
F(x,y)= dfracf(y)-f(x)y-x,&xneq y, f'(x),&x=y,
onde fcolon Rto R é de classe C^1.
Pedem dois resultados:
  1. provar que F é diferenciável em todo ponto com xneq y;
  2. mostrar que, se f é de classe C^2, então F é diferenciável em toda R^2.
Para isso vamos usar que soma, produto e razão (quando o denominador não é zero) de funções C^1 são C^1, e depois uma representação integral de diferença quociente para tratar o caso da diagonal x=y.

Passo 2

Em (x,y):xneq y definimos
N(x,y)=f(y)-f(x), D(x,y)=y-x
Como fin C^1( R), a função N é C^1 em toda R^2; também D é C^1 e não se anula onde estamos. Logo a razão
F(x,y)=N(x,y)D(x,y)
é C^1 em xneq y, isto é, diferenciável em cada ponto com xneq y.

Passo 3

Agora suponha fin C^2( R). Para lidar com os pontos da diagonal x=y, usamos a fórmula de integral da diferença quociente:
f(y)-f(x)=integralx^y f'(t),dt
Fazendo a mudança de variável t=x+s(y-x), sin[0,1], obtém-se
f(y)-f(x)y-x =integral0^1 f'l(x+s(y-x)r),ds
Logo para xneq y
F(x,y) =integral0^1 f'l(x+s(y-x)r),ds,
e notamos que essa expressão continua a valer ao estender para x=y, pois
integral0^1 f'(x),ds=f'(x).

Passo 4

Visto que f'in C^1, podemos diferenciar sob o sinal de integral. Para todo (x,y) (inclusive x=y) definimos
partial Fpartial x(x,y) =integral0^1partialpartial x l[f'(x+s(y-x))r],ds =integral0^1f''l(x+s(y-x)r),(1-s),ds,
partial Fpartial y(x,y) =integral0^1partialpartial y l[f'(x+s(y-x))r],ds =integral0^1f''l(x+s(y-x)r),s,ds
Como f'' é contínua, esses integrais definem funções contínuas de (x,y). Portanto as derivadas parciais de F existem e são contínuas mesmo em pontos da diagonal.

Passo 5

Da continuidade das derivadas parciais em toda R^2 segue que F é de classe C^1 em R^2. Em particular, F é diferenciável em cada ponto de R^2.

Resposta

– Se fin C^1( R), então F é diferenciável em todos os (x,y) com xneq y.
– Se fin C^2( R), então F é diferenciável em toda R^2.

Exercícios relacionados