Questão 2 (2.5 pts) Considere as integrais
I1=integralalpha1(2 x+y)^2 d x-(x-2 y)^2 d y e I2=integralalpha2(2 x+y)^2 d x-(x-2 y)^2 d y
Onde alpha1, alpha2:[0,1] R^2, alpha1(t)=(t, t^2), alpha2(t)=(t^2, t). Usando o teorema de Green calcule a diferença I1-I2

Passo 1

O enunciado nos dá duas integrais de linha
I1=integralalpha1(2x+y)^2,dx-(x-2y)^2,dy e I2=integralalpha2(2x+y)^2,dx-(x-2y)^2,dy
em que alpha1(t)=(t,t^2) e alpha2(t)=(t^2,t), ambas de t=0 a t=1. Queremos I1-I2. Vamos usar o Teorema de Green, que converte a diferença em uma integral dupla sobre a região D entre as curvas y=x^2 e x=y^2.

Passo 2

Identificamos o campo vetorial
P(x,y)=(2x+y)^2, Q(x,y)=-,(x-2y)^2
A diferença I1-I2 equivale à integral de linha ao longo do contorno fechado que segue alpha1 de (0,0) a (1,1) e depois volta por alpha2 no sentido contrário. Esse contorno é orientado positivamente (sentido anti-horário) em torno de
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<=raizx

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
I1-I2 =ointpartial DP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial xl[-(x-2y)^2r] =-2,(x-2y),
partial Ppartial y =partialpartial yl[(2x+y)^2r] =2,(2x+y)
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-2(x-2y)-2(2x+y) =-6x+2y

Passo 4

Montamos a integral dupla em coordenadas cartesianas:
I1-I2 =integralx=0^1integraly=x^2^raizxl(-6x+2yr),dy,dx

Passo 5

Calculamos a integral interna em y:
integraly=x^2^raizx(-6x+2y),dy =l[-6x,y+y^2r]y=x^2^raizx =(-6xraizx+x)-l(-6x^3+x^4r) =-6x^3/2+x+6x^3-x^4

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(-6x^3/2+x+6x^3-x^4r),dx =l[-tfrac125x^5/2+tfracx^22+tfrac6x^44-tfracx^55r]0^1 =-tfrac125+tfrac12+tfrac32-tfrac15 =-tfrac135+2 =-tfrac35

Resposta

I1-I2=-35

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