Questão 3 (2.0 pts) Calcule integralD f d A onde:
f(x, y)=(x+y+1)(x-y), D:|x|+|y| <= pi;

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
integral duplaDf(x,y),dA
onde
f(x,y)=(x+y+1)(x-y)
e
D=(x,y)mid |x|+|y|<=pi
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da integral e a simetria do domínio em relação aos eixos e à troca xrightarrow y.

Passo 2

Primeiro expandimos a função para separar termos mais simples:
f(x,y)=(x+y+1)(x-y)=x^2 - y^2 + x - y

Passo 3

Pela linearidade da integral,
integral duplaDf,dA =integral duplaD(x^2 - y^2),dA ;+;integral duplaDx,dA;-;integral duplaDy,dA

Passo 4

Note que D é simétrico em torno dos eixos x=0 e y=0, logo
integral duplaDx,dA=0 e integral duplaDy,dA=0
pois x e y são funções ímpares nesses eixos.

Passo 5

Além disso, D é invariante pela troca xrightarrow y, o que dá
integral duplaDx^2,dA = integral duplaDy^2,dA
Logo
integral duplaD(x^2 - y^2),dA =integral duplaDx^2,dA - integral duplaDy^2,dA =0
Somando tudo, a integral total é zero.

Resposta

0

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