Questão 1 (3.0 pts) Seja C a curva interseção da semiesfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0, a >0, com o plano y=x, que se encontra acima do plano XY. Determine o valor de a sabendo que integralC x y z d s=8.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC x,y,z,ds = 8
onde C é a interseção da semiesfera
;x^2+y^2+z^2=a^2, z>=0
com o plano
;y=x,
acima do plano XY.
Para resolver, vamos parametrizar a curva C, computar ds, substituir x,y,z e avaliar a integral em função de a.

Passo 2

Como C está no plano y=x e na semiesfera, fica
2x^2+z^2=a^2, z>=0
Podemos usar o parâmetro thetain[0,pi] e definir
x(theta)=araiz2costheta, y(theta)=araiz2costheta, z(theta)=asintheta
Quando theta vai de 0 a pi, z(theta)>=0 e (x,y,z) percorre toda C.

Passo 3

Derivando
r'(theta)=l(-tfracaraiz2sintheta,,-tfracaraiz2sintheta,;acosthetar),
temos
lvert r'(theta)rvert =raiza^22sin^2theta+a^22sin^2theta+a^2cos^2theta =raiza^2=a
Logo ds=a,dtheta.

Passo 4

O integrando é
x,y,z =l(tfracaraiz2costhetar)l(tfracaraiz2costhetar)l(asinthetar) =a^32cos^2thetasintheta
Assim
integralCx,y,z,ds =integral0^pia^32cos^2thetasintheta;l(a,dthetar) =a^42integral0^picos^2thetasintheta,dtheta
Fazendo u=costheta, du=-sintheta,dtheta, vai de u(0)=1 a u(pi)=-1, então
integral0^picos^2thetasintheta,dtheta =integral1^-1u^2(-du) =integral-1^1u^2,du =23
Logo
integralCx,y,z,ds =a^42cdot23 =a^43

Passo 5

Devemos ter tfraca^43=8. Daí
a^4=24 Longrightarrow a=raiz[4]24

Resposta

a=raiz[4]24

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