Questão 3 (2.0 pts) Calcule onde:
e .)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaDraizx^2+y^2;dA
onde D é a região do plano limitada pelas curvas
y = raiz2x - x^2 e y = x
O conteúdo principal aqui é uso de coordenadas polares, pois f(x,y)=raizx^2+y^2 torna-se simplesmente r e a região D fica mais fácil de descrever.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção entre
y = x e y = raiz2x - x^2
Igualando x = raiz2x - x^2 vem
x^2 = 2x - x^2 ;;Longrightarrow;; 2x^2 - 2x = 0 ;;Longrightarrow;; x=0;ou;x=1
Logo, D em coordenadas cartesianas seria
0 <= x <= 1, x <= y <= raiz2x - x^2,
porém vamos mudar para polares.

Passo 3

Em coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta:
  • A curva y=x vira rsintheta = rcostheta ;Longrightarrow; theta = pi4
  • A curva y = raiz2x - x^2 é o semicírculo de centro (1,0) e raio 1. Em polares fica (rcostheta -1)^2 + r^2sin^2theta = 1 ;Longrightarrow; r = 2costheta,
com costheta>=0, isto é thetain[-tfracpi2,tfracpi2]. Como estamos no semicírculo superior e acima da reta y=x, obtemos
pi4 <= theta <= pi2, 0 <= r <= 2costheta

Passo 4

Em polares a integral fica
integral duplaD raizx^2+y^2,dA = integraltheta=pi/4^pi/2integralr=0^2costheta r ;l(r,dr,dthetar) = integralpi/4^pi/2integral0^2costheta r^2,dr,dtheta
Calculando a integral em r:
integral0^2costheta r^2,dr = [r^33]0^2costheta = (2costheta)^33 = 8cos^3theta3
Logo a integral total é
83integralpi/4^pi/2cos^3theta,dtheta

Passo 5

Vamos calcular
I = integral cos^3theta,dtheta = integral costheta,(1-sin^2theta),dtheta
Com u=sintheta, du=costheta,dtheta, temos
I = integral(1-u^2),du = u - u^33 = sintheta - sin^3theta3
Logo
integralpi/4^pi/2cos^3theta,dtheta = l[sintheta - tfracsin^3theta3r]pi/4^pi/2 = l(1 - tfrac13r) - l(tfracraiz22 - tfrac(raiz2/2)^33r)
Calculando cada parte:
1 - tfrac13 = tfrac23, tfracraiz22 - tfrac(raiz2/2)^33 = tfracraiz22 - tfracraiz212 = tfrac5raiz212
Portanto
integralpi/4^pi/2cos^3theta,dtheta = tfrac23 - tfrac5raiz212 = 8 - 5raiz212
Multiplicando por tfrac83
83cdot8 - 5raiz212 = 64 - 40raiz236 = 16 - 10raiz29

Resposta

integral duplaDraizx^2+y^2;dA = 16 - 10raiz29

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