Questão 3 (2.0 pts) Calcule
onde:
e
.)
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região do plano limitada pelas curvas
O conteúdo principal aqui é uso de coordenadas polares, pois
torna-se simplesmente
e a região
fica mais fácil de descrever.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos de interseção entre
Igualando
vem
Logo,
em coordenadas cartesianas seria
porém vamos mudar para polares.
Passo 3
Em coordenadas polares
,
:
- A curva
vira - A curva
é o semicírculo de centro e raio . Em polares fica
com
, isto é
. Como estamos no semicírculo superior e acima da reta
, obtemos
Passo 4
Em polares a integral fica
Calculando a integral em
:
Logo a integral total é
Passo 5
Vamos calcular
Com
,
, temos
Logo
Calculando cada parte:
Portanto
Multiplicando por
dá