Questão 4 (2.0 pts.) Calcule
onde:
é a região limitada acima pela esfera
abaixo pelo cone
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla de
sobre a região
que está dentro da esfera
e acima do cone
. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para explorar a simetria da região e do integrando.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
e o integrando
Passo 3
Os limites de integração são:
– A esfera vira
.
– O cone em esféricas satisfaz
– A esfera
– O cone
Como estamos acima do cone,
varia de
a
.
Além disso, e
.
Assim a integral fica
Além disso,
Assim a integral fica
Passo 4
Calcular a parte radial:
Passo 5
Calcular as partes angulares:
Multiplicando tudo: