Questão 4 (2.0 pts.) Calcule integralW f d V onde:
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, W é a região limitada acima pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 sobre a região W que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16 e acima do cone z=raizx^2+y^2. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas para explorar a simetria da região e do integrando.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
dV=rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta,
e o integrando
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=rho^2

Passo 3

Os limites de integração são:
– A esfera x^2+y^2+z^2=16 vira rho=4.
– O cone z=raizx^2+y^2 em esféricas satisfaz
cosvarphi=sinvarphi Longrightarrow varphi=pi4
Como estamos acima do cone, varphi varia de 0 a pi/4.
Além disso, thetain[0,2pi] e rhoin[0,4].
Assim a integral fica
integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^4 (rho^2),rho^2sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Calcular a parte radial:
integral0^4rho^4,drho =rho^55|0^4 =4^55 =10245

Passo 5

Calcular as partes angulares:
integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi =1-cos!l(pi4r) =1-raiz22,
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando tudo:
2pi;cdot;l(1-tfracraiz22r);cdot;10245 =2048pi5l(1-tfracraiz22r) =1024pi5(2-raiz2)

Resposta

integralWf,dV =1024pi5,(2-raiz2)

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