Questão 2 (2.5 pts.) Calcule: ointC -yx^2+y^2 d x+xx^2+y^2 d y. A curva C é a elipse x^24+y^29=1.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
ointC-yx^2+y^2,dx+xx^2+y^2,dy
ao longo da elipse tfracx^24+tfracy^29=1.
O conteúdo é cálculo de integral de linha de um campo vetorial em curva fechada; vamos usar parametrização da elipse.

Passo 2

Parametrizamos C no sentido anti-horário por
x(t)=2cos t, y(t)=3sin t, 0<= t<=2pi

Passo 3

Calculamos as derivadas:
dx=-2sin t,dt, dy=3cos t,dt
Substituindo em
P,dx+Q,dy com
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=xx^2+y^2,
obtemos
-3sin t4cos^2t+9sin^2t(-2sin t),dt +2cos t4cos^2t+9sin^2t(3cos t),dt

Passo 4

No somatório acima, o numerador fica
6sin^2t+6cos^2t=6,
logo o integrando é
64cos^2t+9sin^2t,dt
Assim a integral torna-se
integral0^2pi64cos^2t+9sin^2t,dt

Passo 5

Usamos o resultado padrão
integral0^2pidtacos^2t+bsin^2t =2piraizab,
para a=4 e b=9. Portanto
integral0^2pi64cos^2t+9sin^2t,dt =6cdot2piraiz4cdot9 =6cdot2pi6 =2pi

Resposta

;2pi

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