2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (-1)^nn(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nn(n+2)
O conteúdo envolvido é o Teste do Termo Geral, o Critério de Leibniz para séries alternantes e o estudo de convergência absoluta via comparação ou telescópica.

Passo 2

Primeiro aplicamos o Teste do Termo Geral:
an = (-1)^nn(n+2)
Como
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^nn(n+2) = 0,
não podemos concluir divergência e seguimos para o próximo teste.

Passo 3

Observamos que a série é alternante, com termos de módulo
bn = 1n(n+2)
Verificamos que bn é positiva, monótona decrescente (pois n(n+2) cresce com n) e limntoinftybn=0. Pelo Critério de Leibniz, a série
sumn=1^infty (-1)^n bn
converge.

Passo 4

Para investigar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty 1n(n+2)
Usamos a decomposição telescópica:
1n(n+2) = 12l(1n-1n+2r)
Logo, ao somar de n=1 até N, quase todos os termos se cancelam, mostrando que essa série converge quando Ntoinfty. Alternativamente, como
1n(n+2)<1n^2 e sum1n^2
converge ( p-série com p=2>1), concluímos também convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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