2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
Se ou a seqüência é divergente o critério do -ésimo termo deve ser usado para concluir que a série diverge;
Se a série é da forma ela é uma série geométrica, que converge para se e diverge se ;
Se a série é da forma ela é uma série de encaixe, que converge para , se convergir. Se divergir a série de encaixe também diverge;
Se a série é da forma ela é uma -série e será convergente apenas quando ;
Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
Teste a convergência das séries: sumn=1^infty (-1)^nn(n+2)
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^nn(n+2)
O conteúdo envolvido é o Teste do Termo Geral, o Critério de Leibniz para séries alternantes e o estudo de convergência absoluta via comparação ou telescópica.
Passo 2
Primeiro aplicamos o Teste do Termo Geral:
an = (-1)^nn(n+2)
Como
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^nn(n+2) = 0,
não podemos concluir divergência e seguimos para o próximo teste.
Passo 3
Observamos que a série é alternante, com termos de módulo
bn = 1n(n+2)
Verificamos que bn é positiva, monótona decrescente (pois n(n+2) cresce com n) e limntoinftybn=0. Pelo Critério de Leibniz, a série
sumn=1^infty (-1)^n bn
converge.
Passo 4
Para investigar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty |an| = sumn=1^infty 1n(n+2)
Usamos a decomposição telescópica:
1n(n+2) = 12l(1n-1n+2r)
Logo, ao somar de n=1 até N, quase todos os termos se cancelam, mostrando que essa série converge quando Ntoinfty. Alternativamente, como
1n(n+2)<1n^2 e sum1n^2
converge (p-série com p=2>1), concluímos também convergência absoluta.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge).