Questão 3 ( 3,0 pts) Calcule o valor do determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{rrccrr} 3 & 6 & 9 & -12 & 6 & -3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 & -1 \\\\ -1 & -5 & 5 & 1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A=\begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 & -12 & 6 & -3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 & -1 \\\\ -1 & -5 & 5 & 1 & 4 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo é determinante de matriz 6\times6 usando operações elementares e expansão por menores.

Passo 2

Para simplificar, trocamos as linhas R_1 e R_6. Isso inverte o sinal do determinante:
\det(A) = -\det(A_1),
onde em A_1 a primeira linha é agora (1,1,0,-1,2,0). Em seguida, usamos essa linha para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_1
  • R_6 \leftarrow R_6 - 3R_1.
Fica assim:
A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 & -1\\\\ 0 & -4 & 5 & 0 & 6 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 3 & 9 & -9 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora expandimos \det(A_1) pela primeira coluna. Só o pivô a_{11}=1 contribui, e sobra o menor 5\times5 obtido de apagar linha 1 e coluna 1. Logo
\det(A_1)=1\cdot\det(B),
e
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 4 & 0 & 2 & 1 & -1\\\\ -4 & 5 & 0 & 6 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & 9 & -9 & 0 & -3 \end{pmatrix},
vindos das linhas 2 a 6 e colunas 2 a 6 de A_1.

Passo 4

No bloco B\), usamos a primeira linha \((1,1,0,0,0)\) para zerar toda a coluna 1 abaixo dela: \[\begin{cases} R_2\leftarrow R_2-4R_1,\\\ R_3\leftarrow R_3+4R_1,\\\ R_5\leftarrow R_5-3R_1. \end{cases}
Isso leva a
B\sim\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -4 & -2 & 1 & -1\\\\ 0 & 9 & 4 & 6 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 6 & -12 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Expandindo por essa primeira coluna dá (\det(B)=1\cdot\det(C)], em que
C=\begin{pmatrix} -4 & -2 & 1 & -1\\\\ 9 & 4 & 6 & 0\\\\ 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 6 & -12 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para calcular \det\text{(C)}\), fazemos a troca de sinais conveniente: trocamos a linha 1 com a linha 3 de \(C\), gerando mudança de sinal \(\det\text{(C)}=-\det(C')\) com \[C'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 9 & 4 & 6 & 0\\\\ -4 & -2 & 1 & -1\\\\ 6 & -12 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Em C' usamos a linha 1 para zerar a coluna 1 em baixo:
\begin{cases} R_2\leftarrow R_2-9R_1,\\\ R_3\leftarrow R_3+4R_1,\\\ R_4\leftarrow R_4-6R_1. \end{cases}
Fica
C'\sim\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -5 & 15 & -9\\\\ 0 & 2 & -3 & 3\\\\ 0 & -18 & 6 & -9 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna: (\det(C’)=1\cdot\det(D)], onde
D=\begin{pmatrix} -5 & 15 & -9\\\\ 2 & -3 & 3\\\\ -18 & 6 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 6

Calculamos \det(D) por expansão na primeira linha:
\det(D) =-5\cdot\begin{vmatrix}-3&3\\\ 6&-9\end{vmatrix} -15\cdot\begin{vmatrix}2&3\\\ -18&-9\end{vmatrix} -9\cdot\begin{vmatrix}2&-3\\\ -18&6\end{vmatrix}.
Cada menor é
\begin{vmatrix}-3&3\\\ 6&-9\end{vmatrix} =27-18=9,\quad \begin{vmatrix}2&3\\\ -18&-9\end{vmatrix} =-18+54=36,
\begin{vmatrix}2&-3\\\ -18&6\end{vmatrix} =12-54=-42.
Logo
\det(D)=-5\cdot9 -15\cdot36 -9\cdot(-42) =-45 -540 +378 =-207.

Passo 7

Agora reunimos os sinais:
\det(C')=1\cdot(-207)=-207, \qquad \det\text{(C)}=-\det(C')=207,
\det(B)=\det\text{(C)}=207, \qquad \det(A_1)=\det(B)=207,
\det(A)=-\det(A_1)=-207.

Resposta

-207

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