Calcule o determinante da matriz através das operações elementares
Calcule o determinante da matriz A, reduzindo a matriz para uma matriz triangular através de operações elementares
A=\left(\begin{array}{ccc} a & a & a \\\\ 1 & a+1 & a \\\\ 1 & 2 & a+1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det(A) onde
A = \begin{pmatrix} a & a & a \\[6pt] 1 & a+1 & a \\[3pt] 1 & 2 & a+1 \end{pmatrix}
usando operações elementares de linhas. Vamos aplicar duas propriedades-chave:
  1. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante.
  2. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.]

Passo 2

Assumindo provisoriamente a\neq0, eliminamos os elementos abaixo de a_{11}=a usando
L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac1a\,L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac1a\,L_1.
Isso não altera o determinante. As novas linhas ficam:
L_2 = \bigl[\,1 - 1,\;(a+1)-1,\;a-1\bigr] = [\,0,\;a,\;a-1],
L_3 = \bigl[\,1 - 1,\;2-1,\;(a+1)-1\bigr] = [\,0,\;1,\;a].
A matriz torna-se
\begin{pmatrix} a & a & a \\[4pt] 0 & a & a-1 \\[4pt] 0 & 1 & a \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora eliminamos o elemento (3,2)=1 usando
L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac1a\,L_2,
novamente sem alterar o determinante. O terceiro elemento da linha 3 passa a ser
a - \tfrac{a-1}{a} = \frac{a^2 - (a-1)}{a} = \frac{a^2 - a + 1}{a}.
A matriz é triangular superior:
\begin{pmatrix} a & a & a \\[4pt] 0 & a & a-1 \\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{a^2 - a + 1}{a} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, temos
\det(A) = a \;\times\; a \;\times\; \frac{a^2 - a + 1}{a} = a\,\bigl(a^2 - a + 1\bigr).
Observando que se a=0 a expansão direta também dá zero, a fórmula final vale para todo a.

Resposta

\det(A) = a\,(a^2 - a + 1) = a^3 - a^2 + a.

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