Questão 1 (2,0 pts) Determine, se existir, a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada (A\mid I) e aplicar operações elementares de linha até obter (I\mid A^{-1}).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
(A\mid I)= \left[\begin{array}{cccc|cccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Para criar o pivô na coluna 1, trocamos R_1 e R_2 e em seguida eliminamos abaixo:
R_1\leftrightarrow R_2,\quad R_3\leftarrow R_3 - R_1,\quad R_4\leftarrow R_4 - R_1.
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Para pivô na coluna 2, trocamos a nova R_2 com R_3, normalizamos e eliminamos acima:
R_2\leftrightarrow R_3,\quad R_2\leftarrow -\,R_2,\quad R_1\leftarrow R_1 - R_2.
Fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Para a coluna 3, eliminamos abaixo do pivô em R_3:
R_4\leftarrow R_4 - R_3
e para a coluna 4 fazemos pivô em R_4, normalizamos e eliminamos acima:
R_4\leftarrow -\,R_4,\quad R_1\leftarrow R_1 - R_4,\quad R_3\leftarrow R_3 - R_4.
Obtém-se finalmente
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right],
isto é, (I\mid A^{-1}).

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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