Questão 3 (3 pts): Uma casca esférica isolante, de raio interno a=2,8 \mathrm{~cm} e raio externo b=5,6 \mathrm{~cm}, possui uma distribuição radial de carga não uniforme dada por \rho(r)=14,1 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{3}\left(\frac{r^{2}}{b^{2}}\right), onde r representa a distância ao centro da esfera. Determine:
(a) A carga total da casca esférica.
(b) O módulo do campo elétrico em um ponto localizado a uma distância de 2 b do centro da esfera.
(c) O módulo do campo elétrico a uma distäncia \frac{a+b}{2} do centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá uma casca esférica isolante de raio interno a=2,8\text{ cm} e externo b=5,6\text{ cm} com densidade de carga radial
\rho(r)=14,1\text{ pC/m}^3\;\frac{r^2}{b^2}\,,
e pede (a) a carga total da casca, (b) o módulo de \mathbf{E} em r=2b e (c) o módulo de \mathbf{E} em r=\tfrac{a+b}{2}.
Conteúdo: lei de Gauss e integral de volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Cálculo simbólico de Q_{\rm total}. A carga total é
Q_{\rm total}=\int_{\text{casca}}\rho(r)\,d\tau =\int_{r=a}^{b}\rho(r)\,4\pi r^2\,dr =4\pi\int_{a}^{b}14{,}1\times10^{-12}\frac{r^2}{b^2}\,r^2\,dr.
Logo,
Q_{\rm total} =\frac{4\pi\,\rho_0}{b^2}\int_{a}^{b}r^4\,dr =\frac{4\pi\,\rho_0}{b^2}\,\frac{b^5-a^5}{5} =\frac{4\pi\,\rho_0\,b^3}{5}\Bigl(1-\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^5\Bigr).

Passo 3

Substituindo \rho_0=14{,}1\times10^{-12}\text{ C/m}^3, a=0,028\text{ m}, b=0,056\text{ m}:
Q_{\rm total} =\frac{4\pi\cdot14{,}1\times10^{-12}\cdot(0,056)^3}{5} \bigl(1-(0,5)^5\bigr) \approx6,03\times10^{-15}\text{ C}.

Passo 4

Para r=2b (fora da casca), a lei de Gauss dá
E(2b)\;4\pi(2b)^2 =\frac{Q_{\rm total}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(2b)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\rm total}}{(2b)^2}.
Substituindo Q_{\rm total} e 2b=0,112\text{ m}:
E(2b)\approx9,0\times10^9\frac{6,03\times10^{-15}}{(0,112)^2} \approx4,33\times10^{-3}\text{ N/C}.

Passo 5

Para a<r<b (dentro da casca), só contribui a carga até r:
Q_{\rm enc}(r) =\int_{a}^{r}\rho(r')4\pi r'^2 dr' =\frac{4\pi\,\rho_0}{b^2}\,\frac{r^5-a^5}{5},
e por Gauss
E(r)\;4\pi r^2 =\frac{Q_{\rm enc}(r)}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_{\rm enc}(r)}{r^2} =\frac{\rho_0}{5\varepsilon_0\,b^2\,r^2}\,\bigl(r^5-a^5\bigr).

Passo 6

Agora r=(a+b)/2=0,042\text{ m}. Calculando numericamente:
r^5-a^5\approx1,135\times10^{-7}\,,\quad 5\varepsilon_0\,b^2\,r^2\approx2,45\times10^{-16},
E\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr) =\frac{14{,}1\times10^{-12}\cdot1,135\times10^{-7}} {2,45\times10^{-16}} \approx6,54\times10^{-3}\text{ N/C}.

Resposta

(a) Q_{\rm total}\approx6,03\times10^{-15}\text{ C}.
(b) E(2b)\approx4,33\times10^{-3}\text{ N/C}.
(c) E\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\approx6,54\times10^{-3}\text{ N/C}.

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