Questão 2 (2 pts): Duas cargas puntiformes estão posicionadas ao longo do eixo x em um sistema de coordenadas cartesianas. A carga q_{1}=5,0 \mu \mathrm{C} está na posição x_{1}=-3,0 \mathrm{~cm}, e a carga q_{2}=-2,0 \mu \mathrm{C} está em x_{2}=5,0 \mathrm{~cm}. Determine:
(a) A coordenada, ao longo do eixo x, onde o campo elétrico resultante gerado pelas duas cargas é nulo.
(b) O módulo do campo elétrico resultante em um ponto localizado sobre o eixo y, a uma distância de 5,0 \mathrm{~cm} da origem.

Passo 1

Temos duas cargas pontuais sobre o eixo x:
\displaystyle q_{1}=5{,}0\,\mu\mathrm{C} em x_{1}=-3{,}0\,\mathrm{cm} e
\displaystyle q_{2}=-2{,}0\,\mu\mathrm{C} em x_{2}=5{,}0\,\mathrm{cm}.
(a) Queremos achar o ponto x no eixo x onde o campo total \mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2 se anula.
(b) Queremos o módulo de \mathbf{E} no ponto P de coordenadas (0,\,5{,}0\,\mathrm{cm}) no eixo y.

Passo 2

Para (a), no ponto onde \mathbf{E}=0 necessariamente \lvert E_1\rvert=\lvert E_2\rvert e as direções de \mathbf{E}_1 e \mathbf{E}_2 são opostas. Isso só ocorre fora do intervalo entre as cargas, e de fato só surge solução física para x>5{,}0\,\mathrm{cm}. A condição de nulidade em módulo é
\frac{k\,q_{1}}{(x - x_{1})^{2}} \;=\; \frac{k\,\lvert q_{2}\rvert}{(x - x_{2})^{2}}
onde x_{1}=-0{,}03\,\mathrm{m} e x_{2}=0{,}05\,\mathrm{m}.

Passo 3

Cancelando k e substituindo os valores em metros:
\frac{5{,}0\times10^{-6}}{(x+0{,}03)^{2}} = \frac{2{,}0\times10^{-6}}{(x-0{,}05)^{2}}.
Isso leva a
\frac{5}{(x+0{,}03)^{2}} = \frac{2}{(x-0{,}05)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-0{,}05}{x+0{,}03}} =\sqrt{\frac{2}{5}}.
Resolvendo para x obtemos x\approx0{,}1877\,\mathrm{m}.

Passo 4

Convertendo para centímetros, a coordenada é
x\approx18{,}8\,\mathrm{cm}.

Passo 5

Para (b), o ponto de interesse é P=(0,\,0{,}05\,\mathrm{m}). Definimos os vetores posição de cada carga a P:
\mathbf{r}_{1}=P - x_{1}=(0+0{,}03,\;0{,}05)\,\mathrm{m},
\mathbf{r}_{2}=P - x_{2}=(0-0{,}05,\;0{,}05)\,\mathrm{m}.
Seus módulos são
r_{1}=\sqrt{0{,}03^{2}+0{,}05^{2}}=0{,}05831\,\mathrm{m},\quad r_{2}=\sqrt{0{,}05^{2}+0{,}05^{2}}=0{,}07071\,\mathrm{m}.

Passo 6

Calculamos os campos de cada carga em P:
E_{1}=\frac{k\,q_{1}}{r_{1}^{2}} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times5{,}0\times10^{-6}}{(0{,}05831)^{2}} \approx1{,}322\times10^{7}\,\mathrm{N/C},
E_{2}=\frac{k\,\lvert q_{2}\rvert}{r_{2}^{2}} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times2{,}0\times10^{-6}}{(0{,}07071)^{2}} \approx3{,}596\times10^{6}\,\mathrm{N/C}.
Os versores são
\hat{\mathbf{r}}_{1}=(0{,}03,0{,}05)/0{,}05831=(0{,}5145,0{,}8575),
\hat{\mathbf{r}}_{2}=(0{,}05,-0{,}05)/0{,}07071=(0{,}7071,-0{,}7071),
e como q_{2} é negativa, \mathbf{E}_{2} aponta no sentido de -\hat{\mathbf{r}}_{2}.

Passo 7

Componentes de \mathbf{E}_{1} e \mathbf{E}_{2}:
\mathbf{E}_{1}=(1{,}322\times10^{7})\,(0{,}5145,0{,}8575) \approx(6{,}803,\,11{,}34)\times10^{6}\,\mathrm{N/C},
\mathbf{E}_{2}=(3{,}596\times10^{6})\,(0{,}7071,-0{,}7071) \approx(2{,}543,\,-2{,}543)\times10^{6}\,\mathrm{N/C}.
Somando:
\mathbf{E}=(6{,}803+2{,}543,\;11{,}34-2{,}543)\times10^{6} =(9{,}346,\;8{,}797)\times10^{6}\,\mathrm{N/C}.
O módulo é
E=\sqrt{9{,}346^{2}+8{,}797^{2}}\times10^{6} \approx1{,}284\times10^{7}\,\mathrm{N/C}.

Resposta

(a) x\approx18{,}8\,\mathrm{cm} onde E_{\mathrm{resultante}}=0.
(b) E\approx1{,}28\times10^{7}\,\mathrm{N/C} no ponto (0,5{,}0\,\mathrm{cm}).

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