Questão 4 (3 pts): Um fio retilíneo, longo, possui densidade linear de carga uniforme \lambda=2,0 \mathrm{nC} \mathrm{m}^{-1}. Esse fio está envolvido por uma casca condutora cilíndrica, também longa, coaxial ao fio, com raio interno a=2,5 \mathrm{~cm} e raio externo b=7,0 \mathrm{~cm}. A carga total da casca condutora é nula. Determine:
(a) O módulo do campo elétrico no ponto r=20,0 \mathrm{~cm}, onde r é a distância ao centro do fio.
(b) A densidade superficial de carga na superfície interna da casca condutora.
(c) A densidade superficial de carga na superfície externa da casca condutora.

Passo 1

O enunciado apresenta um fio retilíneo longo com densidade linear de carga uniforme \lambda=2,0\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}, coaxial a uma casca condutora cilíndrica de raio interno a=2,5\,\mathrm{cm} e raio externo b=7,0\,\mathrm{cm}, cuja carga total é nula. Precisamos usar o Teorema de Gauss para (a) calcular o campo elétrico em r=20,0\,\mathrm{cm} (isto é, para r>b), e depois determinar as densidades superficiais de carga nas superfícies interna ( r=a) e externa ( r=b) da casca, sabendo que dentro do metal o campo é zero e que a casca é neutra.

Passo 2

Para r=20,0\,\mathrm{cm} (ou seja, r>b), uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L engloba apenas a carga do fio (a casca tem carga total zero). Pelo Teorema de Gauss temos
\Phi_E = E(2\pi r L) = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}
com Q_{\rm int}=\lambda L. Logo
E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Substituindo \lambda=2{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}, \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\,m^2)} e r=0{,}20\,\mathrm{m}, obtemos
E = \frac{2{,}0\times10^{-9}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(0{,}20)}\approx1{,}8\times10^{2}\,\mathrm{N/C}.

Passo 3

Dentro do material do condutor (qualquer a<r<b) o campo deve ser zero. Para uma superfície gaussiana de raio r tal que a<r<b, exige-se
E(2\pi r L)=0\implies Q_{\rm int}=\lambda L + Q_{\rm inner}=0
onde Q_{\rm inner} é a carga depositada na superfície interna ( r=a). Logo
Q_{\rm inner} = -\,\lambda L.
A densidade superficial interna é
\sigma_{\rm inner}=\frac{Q_{\rm inner}}{2\pi a L} =-\frac{\lambda}{2\pi a} =-\frac{2{,}0\times10^{-9}}{2\pi\,(0{,}025)}\approx -1{,}27\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}.

Passo 4

Como a casca é neutra, Q_{\rm inner}+Q_{\rm outer}=0, logo
Q_{\rm outer} = -\,Q_{\rm inner} = +\,\lambda L.
Essa carga fica na superfície externa de raio b. A densidade superficial externa é
\sigma_{\rm outer} = \frac{Q_{\rm outer}}{2\pi b L} =\frac{\lambda}{2\pi b} =\frac{2{,}0\times10^{-9}}{2\pi\,(0{,}070)} \approx4{,}55\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2}.

Resposta

(a) E(0{,}20\,\mathrm{m})\approx1{,}8\times10^{2}\,\mathrm{N/C}.
(b) \sigma_{\rm inner}\approx -1{,}27\times10^{-8}\,\mathrm{C/m^2}.
(c) \sigma_{\rm outer}\approx 4{,}55\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^2}.

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