Questão 1 (2 pts): Três cargas puntiformes idênticas, de valor q=3,0 \mu \mathrm{C}, estão posicionadas nos vértices de um triângulo retângulo cujos lados medem 3,0 \mathrm{~mm}, 4,0 \mathrm{~mm} e 5,0 \mathrm{~mm}. Determine:
O módulo da força eletrostática resultante sobre a carga localizada no vértice comum aos lados de 3,0 \mathrm{~mm} e 5,0 \mathrm{~mm}, devido às outras duas cargas.

Passo 1

O enunciado nos dá três cargas puntiformes idênticas de valor q = 3,0\times10^{-6}\,\mathrm{C} nos vértices de um triângulo retângulo de lados 3{,}0\,\mathrm{mm}, 4{,}0\,\mathrm{mm} e 5{,}0\,\mathrm{mm}. Queremos a força resultante sobre a carga no vértice A, que é o vértice comum aos lados de 3{,}0\,\mathrm{mm} e 5{,}0\,\mathrm{mm}. Para isso usaremos a Lei de Coulomb e soma vetorial de forças.

Passo 2

Calculamos a magnitude da força de B sobre A usando
F_{AB} = k \frac{q^2}{r_{AB}^2},
com k=9{,}0\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}, q=3{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{C} e r_{AB}=3{,}0\,\mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
F_{AB} \approx 9{,}0\times10^3\,\mathrm{N}.

Passo 3

De modo análogo, a força de C sobre A é
F_{AC} = k \frac{q^2}{r_{AC}^2},
com r_{AC}=5{,}0\,\mathrm{mm}=5{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
F_{AC} \approx 3{,}24\times10^3\,\mathrm{N}.

Passo 4

Como ambas as forças são repulsivas, seus vetores partem de A ao longo de AB e de AC, formando entre si o ângulo interno A do triângulo. Pelo teorema de Pitágoras e lei dos cossenos no triângulo,
\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\,AB\,AC} = \frac{(3{,}0)^2 + (5{,}0)^2 - (4{,}0)^2}{2\cdot3{,}0\cdot5{,}0} =0{,}6.
Para obter a resultante usamos a lei dos cossenos para vetores:
F_R^2 = F_{AB}^2 + F_{AC}^2 + 2\,F_{AB}\,F_{AC}\,\cos A.

Passo 5

Substituindo
F_R^2 = (9{,}0\times10^3)^2 + (3{,}24\times10^3)^2 + 2\cdot(9{,}0\times10^3)\cdot(3{,}24\times10^3)\cdot0{,}6 \approx 1{,}2649\times10^8,
portanto
F_R \approx 1{,}12\times10^4\,\mathrm{N}.

Resposta

1{,}12\times10^4 N

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