Questão 1 ( 3,2 pts): Considere um fio de comprimento
, ao longo de
, entre os pontos de coordenadas
e
. Dado que a densidade linear de cargas do fio é
,
a) ( 0,2 pts) Se a distribuição de carga ao longo do fio é uniforme, determine a carga total no fio.
b) ( 0,4 pts) Se a distribuição de carga ao longo do fio não é uniforme e igual a
, determine a carga total no fio.
c) ( 0,4 pts) Faça um gráfico
da distribuição de carga no fio para o item b). (observação: indicar os pontos de abscissa e ordenada no gráfico)
d) ( 1,8 pts) Se a distribuição de carga ao longo do fio é uniforme, calcule o campo elétrico devido ao fio no ponto de coordenadas cartesianas
. (observação: desenvolver de forma clara, detalhada e organizada todas as etapas de cálculo)
e) ( 0,4 pts) Expresse o vetor campo elétrico calculado no item d) em coordenadas esféricas.
a) ( 0,2 pts) Se a distribuição de carga ao longo do fio é uniforme, determine a carga total no fio.
b) ( 0,4 pts) Se a distribuição de carga ao longo do fio não é uniforme e igual a
c) ( 0,4 pts) Faça um gráfico
d) ( 1,8 pts) Se a distribuição de carga ao longo do fio é uniforme, calcule o campo elétrico devido ao fio no ponto de coordenadas cartesianas
e) ( 0,4 pts) Expresse o vetor campo elétrico calculado no item d) em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado dá um fio extenso ao longo do eixo
, com extremidades em
e
. A densidade linear de carga é indicada por
(às vezes usarei o símbolo
para a densidade linear quando for conveniente). As perguntas são:
- (a) Se a distribuição é uniforme, qual é a carga total no fio?
- (b) Se a distribuição é
, qual é a carga total no fio? - (c) Fazer o gráfico
para o item (b) e indicar pontos de abscissa e ordenada (usei a expressão do item (b) para construir o gráfico). - (d) Se a distribuição é uniforme, calcular o campo elétrico no ponto
. Desenvolver com todos os passos. - (e) Expressar o vetor campo elétrico do item (d) em coordenadas esféricas.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
(a) Carga total para distribuição uniforme — ideia e fórmula usada.
- Conceito: densidade linear
(unidade C/m) significa que em um elemento de comprimento a carga elementar é . - Para obter a carga total
somamos (integramos) todos os elementos ao longo do fio:
- Como
é constante (uniforme), ele sai da integral:
Portanto, para distribuição uniforme a carga total é
.
Passo 3
(b) Carga total para
.
- Primeiro simplifico o argumento do seno:
. Então
- A carga total é
- Usamos a identidade trigonométrica útil para integrar
:
Aqui
, então
.
- Substituindo:
- Separando a integral:
- A primeira integral é direta:
- A segunda integral:
tem primitiva
. Avaliando nos limites simétricos dá
pois
.
- Logo a contribuição do cosseno é zero e sobra
Passo 4
(c) Gráfico
para o item (b) — descrição e pontos importantes.
- Estou usando a função do item (b):
, definida para . - Observações sobre forma e pontos notáveis:
- Período de
: como o argumento é , a função tem período . No intervalo de comprimento (de a ) vemos uma oscilação completa de . - Zeros (onde
): solução de ⇒ ⇒ . No intervalo aparecem os zeros em Portanto pontos: . - Máximos (onde
): exigir ⇒ ⇒ ⇒ no intervalo. Pontos: e .
- Período de
- Eixo horizontal (abscissa):
variando de a . - Eixo vertical (ordenada):
variando de até . - Descrição do gráfico: começa em
, sobe até , desce a , sobe novamente até e volta a . A curva é suave e simétrica em torno de .
(Observação: usei explicitamente a expressão do item (b) para localizar zeros e máximos.)
Passo 5
(d) Campo elétrico no ponto
para densidade uniforme
. Passo a passo e justificativas.
- Identificação do problema e estratégia:
- Temos um fio de densidade linear uniforme
, estendido de a . - O ponto onde queremos
é com . Pelo simetria em esperam-se cancelamentos das componentes ao longo de ; o campo deve apontar ao longo do eixo (positivo se ). - Usamos a lei de Coulomb para um elemento de carga
:
onde
é a distância do elemento até
e
é o vetor unitário do elemento até
.
- Em forma vetorial conveniente, para um elemento em posição
temos e vetor posição do elemento é . O vetor que liga o elemento ao ponto é
Seu módulo é
O elemento contribui com
- Simetria e redução:
- Pela simetria do intervalo
, as componentes em se anulam porque integrando função ímpar sobre intervalo simétrico dá zero. - Portanto só resta a componente ao longo de
. Isolando-a:
- Integral para
:
- Cálculo da integral (substituição trigonométrica):
- Fazer a substituição
. Então e
- O integrando fica
- Assim a integral original (sem o fator fora) é
onde os limites correspondem a
com
- Então
- Substituindo no
:
- Expressando
em termos de e :
- Pela definição
. Então
- Resultado final (com
):
mas a forma mais simples e direta é
- Direção do campo:
- Para
o vetor campo aponta no sentido positivo de . Logo
ou explicitamente
- Observações de limite:
- Para fio muito longo (
), e recuperamos o resultado do fio infinito:
Passo 6
(e) Expressar
em coordenadas esféricas para o ponto
.
- Primeiro relacionamentos esféricos para o ponto:
- Para o ponto
temos . - O ângulo polar (medido a partir do eixo
) é (ponto no plano ). - O ângulo azimutal é
(porque está sobre o eixo ).
- Relação entre o versor
e os versores esféricos gerais:
Avaliado em
dá
portanto
- Assim o campo, que em cartesiano era
, fica simplesmente radial no ponto:
com
e substituindo
(pois aqui
) e
:
- Resultado em coordenadas esféricas (no ponto em questão):
Resposta
(a)
(b)
(c) Gráfico de
em
. Pontos notáveis:
(d)
com
(e) Em coordenadas esféricas, no ponto
: