Questão 2 (3.0 pts.) Considere o campo
F(x, y, z)=2 x y i+(x^2+z cos (y z)) j+y cos (y z) k,
definido em R^3.
(a) Mostre que F é um campo conservativo;
(b) Determine um potencial para F;
(c) Calcule integralC F cdot d r sendo C a curva parametrizada por:
alpha:[0, pi] R^3, alpha(t)=(cos (t), sen(t), t)

Passo 1

O enunciado dá o campo
F(x,y,z)=2xy,i+l(x^2+zcos(yz)r),j+ycos(yz),k
em R^3 e pede:
(a) mostrar que F é conservativo;
(b) encontrar um potencial phi tal que nablaphi=F;
(c) calcular integralCFcdot dvec r em Ccolonalpha(t)=(cos t,sen t,t), tin[0,pi].
Para (a) usamos o critério nablatimesF=vec0 em domínio simplesmente conexo; para (b) integramos componente a componente; para (c) aplicamos o Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais úteis:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2+zcos(yz)r) =2x, partial Ppartial y =partialpartial y(2xy) =2x,
partial Rpartial x =partialpartial xl(ycos(yz)r) =0, partial Ppartial z =partialpartial z(2xy) =0,
partial Rpartial y =partialpartial yl(ycos(yz)r) =cos(yz)-yzsin(yz),
partial Qpartial z =partialpartial zl(zcos(yz)r) =cos(yz)-yzsin(yz)
Como partial Q/partial x=partial P/partial y, partial R/partial x=partial P/partial z e partial R/partial y=partial Q/partial z, segue
nablatimesF=vec0
em todo R^3, que é simplesmente conexo. Portanto F é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi(x,y,z) com
partialphipartial x=2xy, partialphipartial y=x^2+zcos(yz), partialphipartial z=ycos(yz)
Integramos a primeira em x:
phi(x,y,z)=integral 2xy,dx =x^2y+A(y,z)
Diferenciando em y:
partialphipartial y =x^2+partial Apartial y stackrel!=x^2+zcos(yz) implies partial Apartial y=zcos(yz)
Logo
A(y,z)=integral zcos(yz),dy =sin(yz)+B(z)
Por fim, em z:
partialphipartial z =ycos(yz)+B'(z) stackrel!=ycos(yz) implies B'(z)=0
Assim, escolhendo a constante zero,
phi(x,y,z)=x^2y+sin(yz)

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
integralCFcdot dvec r =phil(alpha(pi)r)-phil(alpha(0)r)
Temos alpha(0)=(1,0,0) e alpha(pi)=(-1,0,pi).
Então
phi(1,0,0)=1^2cdot0+sin(0)=0, phi(-1,0,pi)=(-1)^2cdot0+sin(0)=0,
logo a integral vale
0-0=0

Resposta

(a) F é conservativo porque nablatimesF=vec0 em R^3.
(b) Um potencial é
phi(x,y,z)=x^2y+sin(yz)
(c)
integralCFcdot dvec r = 0

Exercícios relacionados