Questão 2 (3.0 pts.) Considere o campo
definido em
.
(a) Mostre que
é um campo conservativo;
(b) Determine um potencial para
;
(c) Calcule
sendo
a curva parametrizada por:
(a) Mostre que
(b) Determine um potencial para
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo
em
e pede:
(a) mostrar que é conservativo;
(b) encontrar um potencial tal que
;
(c) calcular em
,
.
Para (a) usamos o critério em domínio simplesmente conexo; para (b) integramos componente a componente; para (c) aplicamos o Teorema Fundamental das integrais de linha em campos conservativos.
(a) mostrar que
(b) encontrar um potencial
(c) calcular
Para (a) usamos o critério
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais úteis:
Como
,
e
, segue
em todo
, que é simplesmente conexo. Portanto
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
com
Integramos a primeira em
:
Diferenciando em
:
Logo
Por fim, em
:
Assim, escolhendo a constante zero,
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental,
Temos
e
.
Então
Então
logo a integral vale
Resposta
(a)
é conservativo porque
em
.
(b) Um potencial é
(b) Um potencial é
(c)