2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty raiznn^2+2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyraiznn^2+2
O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste do termo geral e o critério de comparação com p-série.

Passo 2

Aplicamos o teste do n-ésimo termo: seja
an=raiznn^2+2
Calculamos
limntoinftyan =limntoinftyn^1/2n^2+2 =limntoinfty1n^3/2cdot11+2/n^2 =0
Como lim an=0, o teste do termo geral não mostra divergência, então precisamos de outro critério.

Passo 3

Para comparação, note que para todo n>=1 vale
n^2+2>= n^2 Longrightarrow 0<=raiznn^2+2<=raiznn^2 =1n^3/2
Sabemos que
sumn=1^infty1n^3/2
é uma p-série com p=tfrac32>1, logo converge. Pelo critério da comparação, a série dada converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyraiznn^2+2 converge (convergência absoluta).

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