Questão ( 2,0 pts ) Considere o conjunto D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4 e a função
f(x, y)=3 x^3-3 y^3
(1,0) Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos e valores de máximo e mínimo de f na fronteira de D

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto $ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 4} $, que é basicamente um círculo de raio 2 no plano. Queremos encontrar os pontos onde a função $ f(x, y) = 3x^{3} - 3y^{3} $ atinge seus valores máximos e mínimos na borda desse círculo. Para isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nossa função objetivo e a restrição. A função que queremos otimizar é:
f(x, y) = 3x^3 - 3y^3
E a restrição que define a borda do conjunto $ D $ é a equação do círculo:
D
Aqui, $ g(x, y) = 0 $ representa todos os pontos na borda do círculo de raio 2.

Passo 3

O Método dos Multiplicadores de Lagrange nos diz que, nos pontos de máximo ou mínimo, o gradiente da função $ f $ é paralelo ao gradiente da função de restrição $ g $. Em termos matemáticos, isso significa que:
f
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange, um número que ajusta a magnitude dos gradientes.

Passo 4

Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $:
Para $ f(x, y) = 3x^{3} - 3y^{3} $:
f
Para $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 $:
g

Passo 5

Igualando os gradientes conforme o método:
9x^2 = lambda cdot 2x (1)
-9y^2 = lambda cdot 2y (2)
E não podemos esquecer da restrição:
x^2 + y^2 = 4 (3)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, observamos que podemos dividir as equações (1) e (2) por 2x e 2y, respectivamente, assumindo que $ x \neq 0 $ e $ y \neq 0 $:
x neq 0
y neq 0
Igualando as expressões para $ \lambda $:
lambda = 9x^22x = 9x2 (4)
Simplificando:
lambda = -9y^22y = -9y2 (5)

Passo 7

Agora, usamos $ x = -y $ na equação da restrição (3):
x = -y
Substituindo:
x^2 + y^2 = 4
Assim, os pontos candidatos são:
x^2 + (-x)^2 = 4 Rightarrow 2x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 2 Rightarrow x = raiz2 ou x = -raiz2

Passo 8

Vamos calcular o valor de $ f(x, y) $ em cada ponto:
Para $ (\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $:
f(x, y)
Para $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $:
(raiz2, -raiz2)

Resposta

Portanto, na borda do conjunto $ D $:
  • O ponto $ (\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $ é um ponto de máximo com valor $ f = 12\sqrt{2} $.
  • O ponto $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ é um ponto de mínimo com valor $ f = -12\sqrt{2} $.

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