Questão ( 2,0 pts ) Considere o conjunto
e a função
Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos e valores de máximo e mínimo de
na fronteira de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto $ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 4} $, que é basicamente um círculo de raio 2 no plano. Queremos encontrar os pontos onde a função $ f(x, y) = 3x^{3} - 3y^{3} $ atinge seus valores máximos e mínimos na borda desse círculo. Para isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a nossa função objetivo e a restrição. A função que queremos otimizar é:
E a restrição que define a borda do conjunto $ D $ é a equação do círculo:
Aqui, $ g(x, y) = 0 $ representa todos os pontos na borda do círculo de raio 2.
Passo 3
O Método dos Multiplicadores de Lagrange nos diz que, nos pontos de máximo ou mínimo, o gradiente da função $ f $ é paralelo ao gradiente da função de restrição $ g $. Em termos matemáticos, isso significa que:
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange, um número que ajusta a magnitude dos gradientes.
Passo 4
Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $:
Para $ f(x, y) = 3x^{3} - 3y^{3} $:
Para $ g(x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 $:
Passo 5
Igualando os gradientes conforme o método:
E não podemos esquecer da restrição:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, observamos que podemos dividir as equações (1) e (2) por 2x e 2y, respectivamente, assumindo que $ x \neq 0 $ e $ y \neq 0 $:
Igualando as expressões para $ \lambda $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, usamos $ x = -y $ na equação da restrição (3):
Substituindo:
Assim, os pontos candidatos são:
Passo 8
Vamos calcular o valor de $ f(x, y) $ em cada ponto:
Para $ (\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $:
Para $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $:
Resposta
Portanto, na borda do conjunto $ D $:
- O ponto $ (\sqrt{2}, -\sqrt{2}) $ é um ponto de máximo com valor $ f = 12\sqrt{2} $.
- O ponto $ (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ é um ponto de mínimo com valor $ f = -12\sqrt{2} $.