Questão 1. (2.0 Pts) Considere as duas funções y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x^{2}.
  1. (0.5 Pts) Calcule o Wronskiano W\left[y_{1}, y_{2}\right](x) para essas funções.
  2. (0.5 Pts) Use o Wronskiano para determinar se y_{1}(x) e y_{2}(x) são linearmente independentes em algum intervalo.
  3. (1.0 Pts) Assumindo que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções para uma EDO linear de segunda ordem y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, encontre as funções contínuas p(x) e q(x).

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções:
  • y_{1}(x)=x,
  • y_{2}(x)=x^{2}.
As perguntas são:
  1. Calcular o Wronskiano W\left[y_{1},y_{2}\right](x).
  2. Usar o Wronskiano para determinar se y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em algum intervalo (especificar onde).
  3. Assumindo que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções de uma EDO linear de segunda ordem
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0,
encontrar as funções contínuas p(x) e q(x).
Nada mais será assumido; vamos usar apenas as informações acima.

Passo 2

Definição e cálculo do Wronskiano (passo a passo).
  • Lembrete: para duas funções y_{1} e y_{2} o Wronskiano é dado por
W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=\begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).
Aqui cada termo significa:
  • y_{1}(x) e y_{2}(x) são as funções dadas,
  • y_{1}'(x) e y_{2}'(x) são as derivadas primeiras,
  • o determinante dá a combinação que mede se as colunas são linearmente dependentes.
  • Calculemos as derivadas:
    • y_{1}'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.
    • y_{2}'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Substituindo na expressão do Wronskiano:
W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=x\cdot(2x)-x^{2}\cdot(1).
  • Simplificando termo a termo:
x\cdot(2x)=2x^{2},\qquad x^{2}\cdot 1=x^{2},
portanto
W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=2x^{2}-x^{2}=x^{2}.]

Passo 3

Interpretação do Wronskiano quanto à independência linear.
  • Teorema útil (forma prática): se o Wronskiano de duas funções for diferente de zero em todo ponto de um intervalo aberto, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se o Wronskiano for identicamente zero no intervalo, as funções podem ser dependentes (mas atenção: o recíproco nem sempre é simples; aqui trabalhamos com funções polinomiais, fórmula é direta).
  • No nosso caso: W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=x^{2}.Este valor é zero somente quando x=0. Para qualquer x\neq 0 temos W(x)=x^{2}\neq 0.
  • Conclusão: y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em qualquer intervalo aberto que não contenha 0. Exemplos de tais intervalos: (-\infty,0), (0,\infty) ou qualquer intervalo aberto contido em um desses.

Passo 4

Encontrar p(x) e q(x) supondo que y_{1} e y_{2} constituam um conjunto fundamental de soluções da EDO
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0.
Estratégia: cada solução deve satisfazer a EDO; substitui-se y_{1} e y_{2} separadamente e resolve-se o sistema para p e q.
  • Para y_{1}(x)=x:
    • y_{1}'(x)=1,
    • y_{1}''(x)=0.
      Substituindo na EDO:
    0 + p(x)\cdot 1 + q(x)\cdot x = 0.
    Assim obtemos a relação
    p(x) + q(x)\,x = 0. \tag{1}
  • Para y_{2}(x)=x^{2}:
    • y_{2}'(x)=2x,
    • y_{2}''(x)=2.
      Substituindo na EDO:
    2 + p(x)\cdot (2x) + q(x)\cdot x^{2} = 0.
    Ou escrevendo explicitamente:
    2 + 2x\,p(x) + x^{2}\,q(x) = 0. \tag{2}
  • Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2). Da equação (1) isolamos p(x):
    p(x) = -q(x)\,x.
    Substituímos esse p(x) em (2):
    2 + 2x\bigl(-q(x)\,x\bigr) + x^{2}\,q(x)=0.
    Simplificando os termos:
    2 - 2x^{2}\,q(x) + x^{2}\,q(x)=0.
2 - x^{2}\,q(x)=0.
Portanto
x^{2}\,q(x)=2 \quad\Rightarrow\quad q(x)=\dfrac{2}{x^{2}}.
  • Voltando a p(x) pela relação p(x)=-q(x)\,x:
    p(x) = -\dfrac{2}{x^{2}}\cdot x = -\dfrac{2}{x}.
  • Observações sobre domínio e continuidade:
    • As expressões p(x)=-\dfrac{2}{x} e q(x)=\dfrac{2}{x^{2}} estão bem definidas e são contínuas para x\neq 0.
    • Isso é coerente com o fato de que y_{1} e y_{2} só formam um conjunto fundamental em intervalos que não contenham 0 (onde o Wronskiano é nulo).

Passo 5

Verificação rápida pela identidade de Abel (consistência).
  • A identidade de Abel (para EDOs lineares de segunda ordem) diz que o Wronskiano satisfaz
W(x)=C\exp\!\Bigl(-\int p(x)\,dx\Bigr),
onde C é constante. Tomando p(x)=-\dfrac{2}{x},
-\int p(x)\,dx = -\int \bigl(-\tfrac{2}{x}\bigr)\,dx = \int \tfrac{2}{x}\,dx = 2\ln|x| = \ln|x|^{2}.
Assim
\exp\!\Bigl(-\int p(x)\,dx\Bigr)=|x|^{2}.
Isso dá W(x)=C|x|^{2}. Como calculamos explicitamente W(x)=x^{2}, temos C=1 (para x>0); no fundo x^{2}=|x|^{2}, então tudo é consistente no domínio x\neq 0.

Resposta

W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=x^{2}
y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0 (por exemplo (-\infty,0) e (0,\infty))
p(x)=-\dfrac{2}{x},\qquad q(x)=\dfrac{2}{x^{2}}

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