Questão 1. (2.0 Pts) Considere as duas funções y_{1}(x)=x e y_{2}(x)=x^{2}.
(0.5 Pts) Calcule o Wronskiano W\left[y_{1}, y_{2}\right](x) para essas funções.
(0.5 Pts) Use o Wronskiano para determinar se y_{1}(x) e y_{2}(x) são linearmente independentes em algum intervalo.
(1.0 Pts) Assumindo que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções para uma EDO linear de segunda ordem y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, encontre as funções contínuas p(x) e q(x).
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções:
y_{1}(x)=x,
y_{2}(x)=x^{2}.
As perguntas são:
Calcular o Wronskiano W\left[y_{1},y_{2}\right](x).
Usar o Wronskiano para determinar se y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em algum intervalo (especificar onde).
Assumindo que y_{1} e y_{2} formam um conjunto fundamental de soluções de uma EDO linear de segunda ordem
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0,
encontrar as funções contínuas p(x) e q(x).
Nada mais será assumido; vamos usar apenas as informações acima.
Passo 2
Definição e cálculo do Wronskiano (passo a passo).
Lembrete: para duas funções y_{1} e y_{2} o Wronskiano é dado por
Interpretação do Wronskiano quanto à independência linear.
Teorema útil (forma prática): se o Wronskiano de duas funções for diferente de zero em todo ponto de um intervalo aberto, então as funções são linearmente independentes nesse intervalo. Se o Wronskiano for identicamente zero no intervalo, as funções podem ser dependentes (mas atenção: o recíproco nem sempre é simples; aqui trabalhamos com funções polinomiais, fórmula é direta).
No nosso caso:W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=x^{2}.Este valor é zero somente quando x=0. Para qualquer x\neq 0 temos W(x)=x^{2}\neq 0.
Conclusão: y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em qualquer intervalo aberto que não contenha 0. Exemplos de tais intervalos: (-\infty,0), (0,\infty) ou qualquer intervalo aberto contido em um desses.
Passo 4
Encontrar p(x) e q(x) supondo que y_{1} e y_{2} constituam um conjunto fundamental de soluções da EDO
y'' + p(x) y' + q(x) y = 0.
Estratégia: cada solução deve satisfazer a EDO; substitui-se y_{1} e y_{2} separadamente e resolve-se o sistema para p e q.
Para y_{1}(x)=x:
y_{1}'(x)=1,
y_{1}''(x)=0.
Substituindo na EDO:
0 + p(x)\cdot 1 + q(x)\cdot x = 0.
Assim obtemos a relação
p(x) + q(x)\,x = 0. \tag{1}
Para y_{2}(x)=x^{2}:
y_{2}'(x)=2x,
y_{2}''(x)=2.
Substituindo na EDO:
2 + p(x)\cdot (2x) + q(x)\cdot x^{2} = 0.
Ou escrevendo explicitamente:
2 + 2x\,p(x) + x^{2}\,q(x) = 0. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema formado por (1) e (2). Da equação (1) isolamos p(x):
Isso dá W(x)=C|x|^{2}. Como calculamos explicitamente W(x)=x^{2}, temos C=1 (para x>0); no fundo x^{2}=|x|^{2}, então tudo é consistente no domínio x\neq 0.
Resposta
W\left[y_{1},y_{2}\right](x)=x^{2} y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em qualquer intervalo que não contenha 0 (por exemplo (-\infty,0) e (0,\infty)) p(x)=-\dfrac{2}{x},\qquad q(x)=\dfrac{2}{x^{2}}