Questão 1 (3,0 pts) Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right]
a) Determine a inversa de A, se esta existir. Se não existir, justifique.
b) Calcule o conjunto-solução do sistema linear abaixo
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=4 \\\\ 2 x+3 y+z=1 \\\ x+y+3 z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a inversa de
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}
se ela existir.
2. Resolver o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 4,\\\\ 2x + 3y + z = 1,\\\ x + y + 3z = 2. \end{cases}
O conteúdo envolvido é inversão de matrizes (usando \det(A)\neq0 e a adjunta) e aplicação da relação
x = A^{-1}b
para achar a solução do sistema.

Passo 2

Primeiro, calculamos o determinante de A. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha,
\det(A) =1\cdot(3\cdot3-1\cdot1) -2\cdot(2\cdot3-1\cdot1) +(-1)\cdot(2\cdot1-3\cdot1) =1\cdot8 -2\cdot5 -1\cdot(-1) =8-10+1=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

Para encontrar A^{-1}, usamos
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores. Calculando os cofatores e transpondo, obtemos
\mathrm{adj}(A) =\begin{pmatrix} 8 & -7 & 5\\\\ -5 & 4 & -3\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix},
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A^{-1} =\frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 8 & -7 & 5\\\\ -5 & 4 & -3\\\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 7 & -5\\\\ 5 & -4 & 3\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para resolver o sistema Ax=b com
b = \begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix},
usamos x=A^{-1}b. Fazendo o produto,
\begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 7 & -5\\\\ 5 & -4 & 3\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\cdot4 +7\cdot1 -5\cdot2\\\\ 5\cdot4 -4\cdot1 +3\cdot2\\\\ 1\cdot4 -1\cdot1 +1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35\\\\ 22\\\\ 5 \end{pmatrix}.

Resposta

A inversa existe e é
A^{-1} =\begin{pmatrix} -8 & 7 & -5\\\\ 5 & -4 & 3\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O sistema tem solução única
(x,y,z)=(-35,\;22,\;5).

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