Questão 3 (3,0 pts) Calcule o valor do determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ -1 & -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular \det(A), em que
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 & 2 \\[6pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\[3pt] 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\[3pt] -1 & -5 & 5 & 1 & 4 \\[3pt] 1 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será operações elementares de linha (tipos que não alteram o determinante) para triangularizar a matriz e, por fim, usar a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos seus pivôs.]

Passo 2

Usamos o pivô a_{11}=1 (linha 1) para zerar os elementos abaixo em coluna 1.
Aplicamos
R_4 \leftarrow R_4 + R_1,\quad R_5 \leftarrow R_5 - R_1,
o que não altera \det(A). A matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 & 2\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 4 & 0 & 2 & 1\\[3pt] 0 & -3 & 8 & -3 & 6\\[3pt] 0 & -1 & -3 & 3 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora o pivô a_{22}=1 (linha 2) elimina as entradas em coluna 2 das linhas 3, 4 e 5. Usamos
R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2,\quad R_5 \leftarrow R_5 + R_2,
mantendo o determinante. Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 & 2\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 0 & -4 & -2 & 1\\[3pt] 0 & 0 & 11 & 0 & 6\\[3pt] 0 & 0 & -2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

O pivô em coluna 3 é a_{33}=-4 (linha 3). Para zerar abaixo, fazemos
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{11}{4}R_3,\quad R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac12 R_3.
Ainda não mudamos o determinante. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 & 2\\[3pt] 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 0 & -4 & -2 & 1\\[3pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{11}{2} & \tfrac{35}{4}\\[3pt] 0 & 0 & 0 & 5 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Por fim, usamos o pivô a_{44}=-\tfrac{11}{2} (linha 4) para zerar o elemento em linha 5, coluna 4, com
R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{10}{11}R_4.
A matriz triangular final é
\begin{pmatrix} 1 & * & * & * & *\\[3pt] 0 & 1 & * & * & *\\[3pt] 0 & 0 & -4 & * & *\\[3pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{11}{2} & *\\[3pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{82}{11} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Como só fizemos operações que não alteram o determinante, vale
\det(A) = 1 \times 1 \times (-4) \times \Bigl(-\tfrac{11}{2}\Bigr)\times \tfrac{82}{11}.
Calculando,
(-4)\times\Bigl(-\tfrac{11}{2}\Bigr)=22, \quad 22\times\tfrac{82}{11}=2\times82=164.

Resposta

\det(A)=164

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