Questão 2 Sendo
A=\left[\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right]
\mathrm{e} \operatorname{det}(A)=-4, encontre o valor do determinante da matriz
B=\left[\begin{array}{ccc} 2 b_{1}+4 c_{1} & 2 b_{2}+4 c_{2} & 2 b_{3}+4 c_{3} \\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}\right] .
Justifique cada passo.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
A = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{pmatrix}
com \det(A)=-4, e pede \det(B) onde
B = \begin{pmatrix} 2b_{1}+4c_{1} & 2b_{2}+4c_{2} & 2b_{3}+4c_{3}\\\ c_{1} & c_{2} & c_{3}\\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é a propriedade de multilinearidade do determinante em cada linha e o efeito de permutar linhas sobre \det.

Passo 2

Identifiquemos as linhas de A por \mathbf{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}), \mathbf{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), \mathbf{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}).
Então as linhas de B são \mathbf{r}_1 = 2\mathbf{b}+4\mathbf{c},\;\mathbf{r}_2 = \mathbf{c},\;\mathbf{r}_3 = \mathbf{a}.

Passo 3

Pela multilinearidade em \mathbf{r}_1,
\det(B) = \det\bigl(2\mathbf{b}+4\mathbf{c},\,\mathbf{c},\,\mathbf{a}\bigr) =2\,\det(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}) +4\,\det(\mathbf{c},\mathbf{c},\mathbf{a}).
Como em \det(\mathbf{c},\mathbf{c},\mathbf{a}) há duas linhas iguais, esse termo é zero. Logo
\det(B)=2\,\det(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}).

Passo 4

Note que \det(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}) é obtido de \det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\det(A) por uma ciclagem de linhas
(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) \;\longrightarrow\; (\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}),
que é um 3-ciclo (par de transposições) e, portanto, não altera o sinal do determinante. Assim
\det(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}) =\det(A)=-4.
Substituindo em \det(B)=2\,\det(\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{a}) obtemos \det(B)=2\cdot(-4)=-8.

Resposta

-8

Exercícios relacionados