Questão 4. (3.0 pts) Numa corrida de Fórmula Indy há 27 carros, sendo três de cada equipe (ou seja, há 9 equipes). A largada é feita com três filas paralelas de nove carros. Sabendo que cada equipe deve ter um de seus carros em cada fila, de quantos modos a largada pode ser feita? Considere os carros distintos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem uma corrida de Fórmula Indy com 27 carros, divididos em 9 equipes, cada uma com 3 carros. A largada é organizada em três filas paralelas, com 9 carros em cada fila. A regra é que cada equipe deve ter um carro em cada fila. Nosso objetivo é descobrir de quantos jeitos diferentes podemos organizar essa largada.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de permutação e arranjos. Também vamos usar um pouco de combinatória, onde contamos as diferentes formas de organizar os carros respeitando as regras dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como distribuir os carros de cada equipe nas três filas. Cada equipe tem 3 carros, e cada um deles precisa ficar em uma fila diferente. Para uma equipe específica, temos que decidir qual carro vai para a primeira fila, qual vai para a segunda e qual vai para a terceira.
Isso é uma questão de permutação, onde a ordem importa. Para os 3 carros de uma equipe, existem
maneiras de colocá-los nas três filas.
Passo 3
Como temos 9 equipes no total, e cada equipe tem 6 maneiras de distribuir seus carros nas filas, vamos multiplicar isso para todas as equipes. Então, o número de maneiras de distribuir todos os carros nas filas é:
Isso significa
, mas deixaremos na forma de fatorial para facilitar.
Passo 4
Depois de distribuir os carros nas filas, precisamos organizar a ordem dos carros dentro de cada fila. Cada fila tem 9 carros distintos, e a ordem deles importa na largada.
Para uma fila com 9 carros, o número de arranjos possíveis é
(fatorial de 9).
Passo 5
Como temos 3 filas independentes, precisamos multiplicar as possibilidades de arranjar cada fila. Então, o total de arranjos para as três filas é:
Passo 6
Por fim, para obter o número total de maneiras de organizar a largada respeitando todas as regras, multiplicamos as formas de distribuir os carros nas filas pelas formas de arrumar os carros dentro de cada fila:
Resposta
O número total de modos de fazer a largada é $ (3!)^{9} \times (9!)^{3} $.