Questão 2. □ (1.5 Pts) Uma curva diferenciável
possui comprimento constante para todo
. Mostre que
para todo
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Dado:
é diferenciável. - Dado: o comprimento (norma) de
é constante para todo . Em símbolos: existe tal que para todo . - Pedido: mostrar que
é perpendicular a para todo ; em notação, provar para todo .
Passo 2
Transformar a informação de norma constante numa função escalar que seja mais fácil de derivar. Defina a função escalar
Explicação didática:
é a norma (comprimento) do vetor
. Trabalhar com
é conveniente porque evita a raiz quadrada e facilita a diferenciação (a derivada de uma soma de quadrados é direta). Como
é constante por hipótese, temos que
também é constante para todo
.
Passo 3
Concluir que a derivada de
é zero. Como
é constante,
Passo 4
Calcular
em termos de
e
. Use a expressão da norma ao quadrado pela produto interno:
onde
é o produto interno usual em
. A regra de derivação do produto interno (que se obtém componente a componente ou pela linearidade do produto interno) diz
Aplicando com
obtemos
Explicação alternativa (mais elementar, se preferir): escrevendo
tem-se
e assim
Passo 5
Juntar as duas informações: de Passo 3 temos
, de Passo 4 temos
. Portanto
o que implica
Passo 6
Interpretar o resultado em termos de perpendicularidade e comentar casos limítrofes (motivação para prova/colégio). Em
, dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto interno for zero. Assim a igualdade acima diz exatamente que
é perpendicular a
para todo
. Observação rápida sobre caso degenerado: se
então a norma é zero constante e
, e a propriedade
também é verdadeira (produto interno é zero). Então o resultado vale sem exceções.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a ideia: considere a circunferência de raio
no plano
,
Tem-se
constante. Derivando,
O produto interno é
logo os vetores posição e velocidade são ortogonais em todo instante — exatamente o que a prova geral mostrou. Dica prática para prova: sempre que tiver “norma constante”, passe para a derivada da norma ao quadrado; isso costuma resolver o problema direto.