Questão 2. □ (1.5 Pts) Uma curva diferenciável \mathbf{r}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{3} possui comprimento constante para todo t \in[a, b]. Mostre que \mathbf{r}(t) \perp \mathbf{r}^{\prime}(t) para todo t \in[a, b]

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Dado: \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é diferenciável.
  • Dado: o comprimento (norma) de \mathbf{r}(t) é constante para todo t\in[a,b]. Em símbolos: existe C\ge 0 tal que \|\mathbf{r}(t)\|=C para todo t\in[a,b].
  • Pedido: mostrar que \mathbf{r}(t) é perpendicular a \mathbf{r}'(t) para todo t\in[a,b]; em notação, provar \mathbf{r}(t)\perp\mathbf{r}'(t) para todo t.

Passo 2

Transformar a informação de norma constante numa função escalar que seja mais fácil de derivar. Defina a função escalar
g(t)=\|\mathbf{r}(t)\|^{2}.
Explicação didática: \|\mathbf{r}(t)\| é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{r}(t). Trabalhar com \|\mathbf{r}(t)\|^{2} é conveniente porque evita a raiz quadrada e facilita a diferenciação (a derivada de uma soma de quadrados é direta). Como \|\mathbf{r}(t)\|=C é constante por hipótese, temos que g(t)=C^{2} também é constante para todo t.

Passo 3

Concluir que a derivada de g é zero. Como g(t) é constante,
g'(t)=0\qquad\text{para todo }t\in[a,b].

Passo 4

Calcular g'(t) em termos de \mathbf{r} e \mathbf{r}'. Use a expressão da norma ao quadrado pela produto interno:
g(t)=\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}(t)\rangle,
onde \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual em \mathbb{R}^{3}. A regra de derivação do produto interno (que se obtém componente a componente ou pela linearidade do produto interno) diz
\frac{d}{dt}\langle \mathbf{u}(t),\mathbf{v}(t)\rangle=\langle \mathbf{u}'(t),\mathbf{v}(t)\rangle+\langle \mathbf{u}(t),\mathbf{v}'(t)\rangle.
Aplicando com \mathbf{u}=\mathbf{v}=\mathbf{r} obtemos
g'(t)=\langle \mathbf{r}'(t),\mathbf{r}(t)\rangle+\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle = 2\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle.
Explicação alternativa (mais elementar, se preferir): escrevendo \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) tem-se
g(t)=x(t)^{2}+y(t)^{2}+z(t)^{2},
e assim
g'(t)=2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)+2z(t)z'(t)=2\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle.

Passo 5

Juntar as duas informações: de Passo 3 temos g'(t)=0, de Passo 4 temos g'(t)=2\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle. Portanto
2\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle=0,
o que implica
\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle=0\qquad\text{para todo }t\in[a,b].

Passo 6

Interpretar o resultado em termos de perpendicularidade e comentar casos limítrofes (motivação para prova/colégio). Em \mathbb{R}^{3}, dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto interno for zero. Assim a igualdade acima diz exatamente que \mathbf{r}(t) é perpendicular a \mathbf{r}'(t) para todo t. Observação rápida sobre caso degenerado: se \mathbf{r}(t)\equiv\mathbf{0} então a norma é zero constante e \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0}, e a propriedade \langle \mathbf{r},\mathbf{r}'\rangle=0 também é verdadeira (produto interno é zero). Então o resultado vale sem exceções.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a ideia: considere a circunferência de raio R no plano xy,
\mathbf{r}(t)=(R\cos t,\,R\sin t,\,0).
Tem-se \|\mathbf{r}(t)\|=R constante. Derivando,
\mathbf{r}'(t)=(-R\sin t,\,R\cos t,\,0).
O produto interno é
\langle \mathbf{r}(t),\mathbf{r}'(t)\rangle=R\cos t\cdot(-R\sin t)+R\sin t\cdot R\cos t+0=0,
logo os vetores posição e velocidade são ortogonais em todo instante — exatamente o que a prova geral mostrou. Dica prática para prova: sempre que tiver “norma constante”, passe para a derivada da norma ao quadrado; isso costuma resolver o problema direto.

Resposta

\mathbf{r}(t)\perp\mathbf{r}'(t) para todo t\in[a,b].

Exercícios relacionados