Questāo 4: (4 pts) [Questāo extra] Utilizando a mesma trasnformação da questão 3. Sendo agora \beta=\{(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1)\}. e \beta^{\prime}=\{(1,1),(2,-1)\}. Determine [T]_{\beta}^{\beta^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado nos dá as bases e pede a matriz de T relativa a essas bases:
  • Base do domínio \beta=\{(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1)\}. Vou chamar esses vetores de v_1=(1,1,1),\qquad v_2=(1,1,0),\qquad v_3=(0,0,1).
  • Base do contradomínio \beta'=\{(1,1),(2,-1)\}. Vou chamar esses vetores de w_1=(1,1),\qquad w_2=(2,-1).
O enunciado pede: determinar [T]_{\beta}^{\beta'}.
Importante: o enunciado referencia “a mesma transformação da questão 3”, mas aqui a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 NÃO foi fornecida. Sem a definição de T (ou seja, sem saber T(v_1),T(v_2),T(v_3) em coordenadas padrão), NÃO é possível obter valores numéricos para [T]_{\beta}^{\beta'}. Vou mostrar passo a passo o procedimento correto para calcular [T]_{\beta}^{\beta'} e dar a forma final em termos de T(v_j); assim, se souberes T podes aplicar imediatamente.

Passo 2

O que significa construir [T]_{\beta}^{\beta'}:
  • A matriz [T]_{\beta}^{\beta'} tem dimensão 2\times 3 (porque T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2).
  • Cada coluna j dessa matriz é o vetor de coordenadas de T(v_j) em relação à base \beta'.
    Isto é, para cada j\in\{1,2,3\} devemos escrever
T(v_j)=a_j w_1 + b_j w_2,
e a coluna j será \begin{pmatrix}a_j\\[4pt]b_j\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como expressar um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbb{R}^2 na base \beta':
  • Queremos a e b tais que a w_1 + b w_2 = (x,y).
  • Substituindo w_1=(1,1) e w_2=(2,-1) obtemos o sistema linear a + 2b = x,
a - b = y.
  • Vamos resolver esse sistema em função de x e y. Subtraindo a segunda equação da primeira: (a+2b)-(a-b)=3b = x-y \quad\Rightarrow\quad b=\frac{x-y}{3}.Substituindo em a-b=y (ou em qualquer das equações): a = y + b = y + \frac{x-y}{3} = \frac{x+2y}{3}.
  • Portanto, as coordenadas de (x,y) na base \beta' são \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{x+2y}{3}\\[6pt]\dfrac{x-y}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicando isso a T(v_j):
  • Denote T(v_j)=(x_j,y_j) nas coordenadas padrão de \mathbb{R}^2, isto é, T(v_j) = (x_j,y_j),\qquad j=1,2,3.
  • As coordenadas de T(v_j) na base \beta' são \begin{pmatrix}a_j\\[4pt]b_j\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{x_j+2y_j}{3}\\[6pt]\dfrac{x_j-y_j}{3}\end{pmatrix}.
  • Assim, a matriz [T]_{\beta}^{\beta'} é a matriz 2\times 3 cujas colunas são esses vetores: [T]_{\beta}^{\beta'}= \begin{pmatrix} \dfrac{x_1+2y_1}{3} & \dfrac{x_2+2y_2}{3} & \dfrac{x_3+2y_3}{3}\\[8pt] \dfrac{x_1-y_1}{3} & \dfrac{x_2-y_2}{3} & \dfrac{x_3-y_3}{3} \end{pmatrix},onde (x_j,y_j)=T(v_j) são as coordenadas padrão das imagens dos vetores da base \beta.]

Passo 5

O que fazer na prática quando tiveres T:
  • Calcula T(v_1),T(v_2),T(v_3) em coordenadas padrão (cada um dará um par (x_j,y_j)).
  • Usa a fórmula do Passo 4 para obter cada coluna.
  • Monta a matriz 2\times3 diretamente.
Ilustração rápida (apenas exemplo didático): se, por exemplo, T(x,y,z)=(x+z,\;y-z) (isto é apenas uma escolha ilustrativa), então
  • T(v_1)=T(1,1,1)=(2,0)\Rightarrow (x_1,y_1)=(2,0),
  • T(v_2)=T(1,1,0)=(1,1)\Rightarrow (x_2,y_2)=(1,1),
  • T(v_3)=T(0,0,1)=(1,-1)\Rightarrow (x_3,y_3)=(1,-1).
    Aplicando a fórmula obteríamos
[T]_{\beta}^{\beta'}= \begin{pmatrix} \dfrac{2+2\cdot 0}{3} & \dfrac{1+2\cdot 1}{3} & \dfrac{1+2(-1)}{3}\\[8pt] \dfrac{2-0}{3} & \dfrac{1-1}{3} & \dfrac{1-(-1)}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & 1 & -\dfrac{1}{3}\\[6pt] \dfrac{2}{3} & 0 & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
Reforço: este último resultado é só um exemplo; o valor real depende de T.]

Resposta

Não é possível determinar numericamente [T]_{\beta}^{\beta'} porque a transformação linear T não foi fornecida. Em termos das imagens T(v_j)=(x_j,y_j) ( j=1,2,3), tem-se:
[T]_{\beta}^{\beta'}= \begin{pmatrix} \dfrac{x_1+2y_1}{3} & \dfrac{x_2+2y_2}{3} & \dfrac{x_3+2y_3}{3}\\[8pt] \dfrac{x_1-y_1}{3} & \dfrac{x_2-y_2}{3} & \dfrac{x_3-y_3}{3} \end{pmatrix}.]

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