Questão 5 (2 pts): A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio a=3,1 \mathrm{~mm} é paralela ao eixo central, e seu módulo varia linearmente com a distância radial r, de acordo com a equação J=J_{0} r^{2} / a^{2}, em que J_{0}=310 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine o módulo do campo magnético em:
(a) a / 2.

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico de raio a=3{,}1\;\mathrm{mm} em que a densidade de corrente varia com r segundo
J(r)=J_{0}\,\frac{r^{2}}{a^{2}},
com J_{0}=310\;\mathrm{A/m^{2}}. Queremos achar o módulo do campo magnético em r=a/2. O conteúdo principal aqui é usar a Lei de Ampère para uma distribuição de corrente com simetria cilíndrica.

Passo 2

Para aplicar a Lei de Ampère, primeiro calculamos a corrente elétrica total contida em um cilindro de raio r. Como a densidade de corrente é paralela ao eixo, temos
I_{\text{enc}}(r) =\int_{0}^{r}J(r')\,\bigl(2\pi r'\,dr'\bigr) =\int_{0}^{r}J_{0}\,\frac{{r'}^{2}}{a^{2}}\;2\pi r'\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a^{2}}\int_{0}^{r}{r'}^{3}\,dr' =\frac{2\pi J_{0}}{a^{2}}\;\frac{r^{4}}{4} =\frac{\pi J_{0}\,r^{4}}{2\,a^{2}}.

Passo 3

A Lei de Ampère em forma integral diz
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r).
Por simetria \mathbf{B} é tangencial com módulo constante B(r) e \oint d\ell=2\pi r, então
B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,\frac{\pi J_{0}\,r^{4}}{2\,a^{2}} \quad\Longrightarrow\quad B(r) =\frac{\mu_{0}\,\pi J_{0}\,r^{4}}{2\,a^{2}\,2\pi r} =\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,r^{3}}{4\,a^{2}}.

Passo 4

Agora basta pôr r=a/2 e os valores numéricos:
B\bigl(a/2\bigr) =\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,(a/2)^{3}}{4\,a^{2}} =\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,a^{3}}{4\cdot 8\,a^{2}} =\frac{\mu_{0}\,J_{0}\,a}{32}.
Com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\;\mathrm{H/m}, J_{0}=310\;\mathrm{A/m^{2}} e a=3{,}1\times10^{-3}\;\mathrm{m}, vem
B\bigl(a/2\bigr) \approx\frac{4\pi\times10^{-7}\times310\times3{,}1\times10^{-3}}{32} \approx3{,}77\times10^{-8}\;\mathrm{T}.

Resposta

O módulo do campo magnético em r=a/2 é aproximadamente
3{,}77\times10^{-8}\;\mathrm{T}.

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