Resolva as integrais indefinidas.
2. \int \frac{x^{3} d x}{e^{2 x^{4}}};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}\,dx}{e^{2x^{4}}}
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois o expoente 2x^{4} tem derivada proporcional a x^{3}.

Passo 2

Reescrevemos o integrando de forma a destacar a exponencial negativa:
\frac{x^{3}}{e^{2x^{4}}} = x^{3}\,e^{-2x^{4}}.
Assim, nossa integral fica
\int x^{3}\,e^{-2x^{4}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 2x^{4} \quad\Longrightarrow\quad du = 8x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 4

Em termos de u, a integral vira
\int x^{3}\,e^{-2x^{4}}\,dx = \int e^{-u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int e^{-u}\,du.
Sabemos que
\int e^{-u}\,du = -\,e^{-u} + C,
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\frac{1}{8}\int e^{-u}\,du = -\frac{1}{8}\,e^{-u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos
-\frac{1}{8}\,e^{-u} + C = -\frac{1}{8}\,e^{-2x^{4}} + C.

Resposta

-\frac{1}{8}\,e^{-2x^{4}} + C

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