Resolva as integrais indefinidas.
3. \int \sin ^{2}(3 x+5) \cos (3 x+5) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(3x+5)\,\cos(3x+5)\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de substituição (u-substitution), aproveitando que a derivada de \sin(3x+5) traz justamente o fator \cos(3x+5).

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = \sin(3x+5).
Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 3\,\cos(3x+5)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \cos(3x+5)\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \sin^{2}(3x+5)\,\cos(3x+5)\,dx = \int u^{2}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\,\int u^{2}\,du.
Agora integramos \int u^{2}\,du:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Logo
\frac{1}{3}\,\int u^{2}\,du = \frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{u^{3}}{3}\Bigr) + C = \frac{u^{3}}{9} + C.

Passo 4

Voltando à variável x por meio de u=\sin(3x+5), temos
\frac{u^{3}}{9} + C = \frac{\sin^{3}(3x+5)}{9} + C.

Resposta

\frac{\sin^{3}(3x+5)}{9} + C

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