Questão 4 (2 pts): A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico longo, de raio a=3,1 \mathrm{~mm}, é paralela ao eixo central do fio, e seu módulo varia linearmente com a distância radial r, segundo a equação J(r)=J_{0} \frac{r}{a}, onde J_{0}=310 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Determine:
(a) A corrente total atravessando uma amperiana circular de raio 2 a / 3, centrada no eixo do fio.
(b) O módulo do campo magnético a uma distância 2 a / 3 do centro do fio.

Passo 1

O enunciado apresenta um fio cilíndrico de raio a=3,1\\ \text{mm} com densidade de corrente dependente do raio segundo
J(r)=J_{0}\,\frac{r}{a},
onde J_{0}=310\\ \mathrm{A/m^{2}}.
(a) Pede-se a corrente total atravessando uma seção circular de raio r_{0}=2a/3.
(b) Pede-se o módulo do campo magnético a essa mesma distância r_{0}.
Para resolver, vamos usar:
  1. Integração da densidade de corrente sobre a área para obter I_{\rm enc}.
  2. Lei de Ampère no contorno circular de raio r_{0}:
\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}I_{\rm enc}.

Passo 2

Determinamos a corrente envolvida I_{\rm enc} integrando J(r) na área de raio r_{0}:
I_{\rm enc} =\int_{0}^{r_{0}}J(r)\,2\pi r\,dr =2\pi\frac{J_{0}}{a}\int_{0}^{r_{0}}r^{2}dr =2\pi\frac{J_{0}}{a}\,\frac{r_{0}^{3}}{3}.
Substituindo r_{0}=2a/3 obtemos
r_{0}^{3}=\Bigl(\tfrac{2a}{3}\Bigr)^{3}=\frac{8a^{3}}{27} \quad\Longrightarrow\quad I_{\rm enc} =2\pi\frac{J_{0}}{a}\,\frac{1}{3}\,\frac{8a^{3}}{27} =\frac{16\pi J_{0}a^{2}}{81}.

Passo 3

Pela Lei de Ampère, num círculo de raio r_{0} o campo magnético é tangencial e uniforme em módulo, logo
B(r_{0})\,(2\pi r_{0})=\mu_{0}I_{\rm enc} \quad\Longrightarrow\quad B(r_{0}) =\frac{\mu_{0}I_{\rm enc}}{2\pi r_{0}} =\frac{\mu_{0}}{2\pi r_{0}}\;\frac{16\pi J_{0}a^{2}}{81} =\frac{16\,\mu_{0}J_{0}a^{2}}{162\,r_{0}}.
Como r_{0}=2a/3, simplifica-se para
B(r_{0}) =\frac{16\,\mu_{0}J_{0}a^{2}}{162\,(2a/3)} =\frac{4\,\mu_{0}J_{0}a}{27}.

Passo 4

Agora inserimos valores numéricos: a=3,1\\ \text{mm}=3,1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, J_{0}=310\\ \mathrm{A/m^{2}}, \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Para a corrente:
I_{\rm enc} =\frac{16\pi\,J_{0}\,a^{2}}{81} =\frac{16\pi\times310\times(3,1\times10^{-3})^{2}}{81} \approx1,85\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
Para o campo:
B(r_{0}) =\frac{4\,\mu_{0}J_{0}a}{27} =\frac{4\times4\pi\times10^{-7}\times310\times3,1\times10^{-3}}{27} \approx1,79\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Resposta

(a) I_{\rm enc}\approx1,85\times10^{-3}\\ \mathrm{A}.
(b) B\bigl(2a/3\bigr)\approx1,79\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

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