Questão 1 (4 pts): Um grão de poeira, de massa m=1,20 \times 10^{-13} \mathrm{~kg} e carga q= -5,60 \mathrm{nC}, move-se em um campo magnético uniforme \vec{B}=-1,25 \mathrm{~T} \hat{k}. A força magnética medida sobre a partícula é \vec{F}=\left(3,50 \times 10^{-6} \mathrm{~N}\right) \hat{i}-\left(7,00 \times 10^{-6} \mathrm{~N}\right) \hat{j}. A força não tem componente z, mas a velocidade tem. Determine:
(a) As componentes x e y da velocidade da partícula, em notação de vetores unitários, com unidades em \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}.
(b) O raio da trajetória circular uniforme, em metros.
(c) A componente z da velocidade, em \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}, sabendo que a energia cinética da partícula é 1,35 \times 10^{-7} \mathrm{~J}.
(d) O passo da trajetória helicoidal, em metros.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m=1,20\times10^{-13}\,\mathrm{kg} e carga q=-5,60\times10^{-9}\,\mathrm C movendo-se num campo uniforme \vec B=-1,25\,\mathrm T\,\hat k. A força magnética medida é
\vec F = \bigl(3,50\times10^{-6}\,\mathrm N\bigr)\,\hat i \;-\;\bigl(7,00\times10^{-6}\,\mathrm N\bigr)\,\hat j.
Como \vec F = q\,\vec v\times\vec B, vamos primeiro achar as componentes v_x e v_y da velocidade perpendicular ao campo.

Passo 2

Para um campo \vec B = B_z\,\hat k, o produto vetorial dá
\vec v\times\vec B = \hat i\,(v_y\,B_z) - \hat j\,(v_x\,B_z).
Logo
F_x = q\,v_y\,B_z, \quad F_y = -\,q\,v_x\,B_z.
Isolando v_y e v_x:
v_y = \frac{F_x}{q\,B_z}, \qquad v_x = -\,\frac{F_y}{q\,B_z}.
Substituindo F_x=3{,}50\times10^{-6}, F_y=-7{,}00\times10^{-6}, q=-5{,}60\times10^{-9}, B_z=-1{,}25:
v_y = \frac{3{,}50\times10^{-6}}{(-5{,}60\times10^{-9})(-1{,}25)} =5,00\times10^{2}\,\mathrm{m/s},
v_x = -\,\frac{-7{,}00\times10^{-6}}{(-5{,}60\times10^{-9})(-1{,}25)} =1,00\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.
Assim,
\vec v_\perp = (1{,}00\times10^3)\,\hat i + (5{,}00\times10^2)\,\hat j\quad[\mathrm{m/s}].

Passo 3

A partícula descreve movimento circular com velocidade perpendicular \displaystyle v_\perp=\sqrt{(1{,}00\times10^3)^2+(5{,}00\times10^2)^2} =1{,}118\times10^3\,\mathrm{m/s}.
Na dinâmica centrípeta temos
q\,v_\perp\,B = m\,\frac{v_\perp^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B}.
Substituindo m=1{,}20\times10^{-13}, |q|=5{,}60\times10^{-9}, B=1{,}25:
r = \frac{1{,}20\times10^{-13}\times1{,}118\times10^3}{5{,}60\times10^{-9}\times1{,}25} =1,92\times10^{-2}\,\mathrm m.

Passo 4

A energia cinética total é
K = \tfrac12\,m\bigl(v_\perp^2 + v_z^2\bigr) =1,35\times10^{-7}\,\mathrm J.
Logo
v_\perp^2 + v_z^2 = \frac{2\,K}{m} = \frac{2\times1{,}35\times10^{-7}}{1{,}20\times10^{-13}} =2,25\times10^6,
e como v_\perp^2=1,25\times10^6, temos
v_z^2 = 2,25\times10^6 - 1,25\times10^6 = 1,00\times10^6 \quad\Longrightarrow\quad v_z = 1,00\times10^3\,\mathrm{m/s}.

Passo 5

O passo (pitch) da hélice é o deslocamento na direção z a cada volta. A frequência angular é
\omega = \frac{|q|\,B}{m},
portanto o período
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi\,m}{|q|\,B}.
O passo é
p = v_z\,T = v_z\,\frac{2\pi\,m}{|q|\,B} = \frac{2\pi\times1{,}20\times10^{-13}\times1{,}00\times10^3} {5{,}60\times10^{-9}\times1{,}25} =1,08\times10^{-1}\,\mathrm m.

Resposta

(a) \vec v = (1,00\times10^3)\,\hat i + (5,00\times10^2)\,\hat j,m/s
(b) r = 1,92\times10^{-2},m
(c) v_z = 1,00\times10^3,m/s
(d) passo p = 1,08\times10^{-1},m

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