^ a Questăo. (2,5 pts)
(a) Determine o ângulo entre os planos x+y+z=1 e x-2 y+3 z=1.
(b) Determine a equação simétrica da reta interseção entre esses planos.

Passo 1

O exercício pede para calcular o ângulo entre os planos x + y + z = 1 e x - 2y + 3z = 1, e depois determinar a equação simétrica da reta de interseção. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: vamos usar vetores normais para achar o ângulo e produto vetorial para achar a direção da reta, além de resolver um sistema para encontrar um ponto na interseção.

Passo 2

Para achar o ângulo entre dois planos, lembramos que isso equivale ao ângulo entre seus vetores normais. Sejam n1 o normal do plano x + y + z = 1, isto é n1 = (1,1,1), e n2 o normal do plano x - 2y + 3z = 1, isto é n2 = (1,-2,3).

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo theta é cos(theta) = |n1 cdot n2||n1|;|n2|.

Passo 4

Calculando o produto escalar e as normas:
n1 cdot n2 = 1cdot 1 + 1cdot(-2) + 1cdot 3 = 2
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
|n2| = raiz1^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz14

Passo 5

Então
cos(theta) = 2raiz3,raiz14 = 2raiz42
Logo theta = arccosl(tfrac2raiz42r), que em graus dá aproximadamente 72,03^circ.

Passo 6

Para achar a reta de interseção, o vetor direção d é dado pelo produto vetorial n1 times n2. Calculando:
d = (1,1,1) times (1,-2,3) = (5,,-2,,-3)

Passo 7

Agora precisamos de um ponto P que satisfaça os dois planos. Para simplificar, escolhemos z=0 e resolvemos o sistema:
x + y = 1
x - 2y = 1
Subtraindo a segunda da primeira: 3y = 0 então y=0. Substituindo em x + 0 = 1 x=1. Assim, P=(1,0,0).

Passo 8

A equação paramétrica da reta é
(x,y,z) = (1,0,0) + t,(5,-2,-3)
Daí a forma simétrica fica
x - 15 = y-2 = z-3

Resposta

Ângulo: theta = arccosl(tfrac2raiz42r)approx 72,03^circ. Equação simétrica da reta de interseção: x - 15 = y-2 = z-3.

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