Questăo. (2,5 pts)
(a) Determine o ângulo entre os planos
e
.
(b) Determine a equação simétrica da reta interseção entre esses planos.
(a) Determine o ângulo entre os planos
(b) Determine a equação simétrica da reta interseção entre esses planos.
Passo 1
O exercício pede para calcular o ângulo entre os planos
e
, e depois determinar a equação simétrica da reta de interseção. O conteúdo envolve geometria analítica no espaço: vamos usar vetores normais para achar o ângulo e produto vetorial para achar a direção da reta, além de resolver um sistema para encontrar um ponto na interseção.
Passo 2
Para achar o ângulo entre dois planos, lembramos que isso equivale ao ângulo entre seus vetores normais. Sejam
o normal do plano
, isto é
, e
o normal do plano
, isto é
.
Passo 3
A fórmula do cosseno do ângulo
é
.
Passo 4
Calculando o produto escalar e as normas:
Passo 5
Então
Logo
, que em graus dá aproximadamente
.
Passo 6
Para achar a reta de interseção, o vetor direção
é dado pelo produto vetorial
. Calculando:
Passo 7
Agora precisamos de um ponto
que satisfaça os dois planos. Para simplificar, escolhemos
e resolvemos o sistema:
Subtraindo a segunda da primeira:
então
. Substituindo em
dá
. Assim,
.
Passo 8
A equação paramétrica da reta é
Daí a forma simétrica fica
Resposta
Ângulo:
. Equação simétrica da reta de interseção:
.