pontos) Determine, colocando a matriz ampliada do sistema linear na forma escalonada
tuzida, se o sistema homogêneo tem soluções não triviais e dê a solução geral do sistema
\left\{\begin{aligned}
x-z-3 w & =0 \\
2 y+2 z+4 w & =0 \\
2 x+3 y+z+w & =0 \\
-2 x+y+3 z-2 w & =0
\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares em quatro incógnitas (x,y,z,w). Vamos usar eliminação de Gauss transformando a matriz ampliada em forma escalonada (e depois reduzida) para identificar pivôs, verificar existência de soluções não triviais e, por fim, escrever a solução geral.
Passo 2
Escrevendo a matriz ampliada \bigl[A\mid 0\bigr] do sistema:
Da forma escalonada reduzida vemos pivôs em x\), \(y\) e \(w\), e a coluna de \(z\) não tem pivô, logo \(z\) é variável livre. Escrevendo cada pivô:
\[\begin{cases} x - z = 0 \implies x = z,\\\\ 2y + 2z = 0 \implies y = -z,\\\ w = 0. \end{cases}
Deixe (z = t\in\mathbb{R}]. Então a solução geral é (x,y,z,w) = \bigl(t,\,-t,\,t,\,0\bigr).
Resposta
Sim, o sistema homogêneo admite soluções não triviais.
A solução geral é