pontos) Determine, colocando a matriz ampliada do sistema linear na forma escalonada
tuzida, se o sistema homogêneo tem soluções não triviais e dê a solução geral do sistema
\left\{\begin{aligned} x-z-3 w & =0 \\ 2 y+2 z+4 w & =0 \\ 2 x+3 y+z+w & =0 \\ -2 x+y+3 z-2 w & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de quatro equações lineares em quatro incógnitas (x,y,z,w). Vamos usar eliminação de Gauss transformando a matriz ampliada em forma escalonada (e depois reduzida) para identificar pivôs, verificar existência de soluções não triviais e, por fim, escrever a solução geral.

Passo 2

Escrevendo a matriz ampliada \bigl[A\mid 0\bigr] do sistema:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 &\vline& 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 4 &\vline& 0\\\\ 2 & 3 & 1 & 1 &\vline& 0\\\\ -2& 1 & 3 & -2 &\vline& 0 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô de x (primeira coluna) usando a linha 1:
- R_3\leftarrow R_3-2R_1 e R_4\leftarrow R_4+2R_1 dão
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0\\\\ 0 & 3 & 3 & 7 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}

Passo 4

Eliminamos abaixo do pivô de y (segunda coluna) usando a linha 2:
- R_3\leftarrow R_3-\tfrac32R_2 e R_4\leftarrow R_4-\tfrac12R_2 dão
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -3 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -10 & 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Tornando pivô em w (quarta coluna) e zerando acima e abaixo:
- R_4\leftarrow R_4+10R_3, R_1\leftarrow R_1+3R_3, R_2\leftarrow R_2-4R_3 resulta em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Esta é a forma escalonada reduzida.

Passo 6

Da forma escalonada reduzida vemos pivôs em x\), \(y\) e \(w\), e a coluna de \(z\) não tem pivô, logo \(z\) é variável livre. Escrevendo cada pivô: \[\begin{cases} x - z = 0 \implies x = z,\\\\ 2y + 2z = 0 \implies y = -z,\\\ w = 0. \end{cases}
Deixe (z = t\in\mathbb{R}]. Então a solução geral é
(x,y,z,w) = \bigl(t,\,-t,\,t,\,0\bigr).

Resposta

Sim, o sistema homogêneo admite soluções não triviais.
A solução geral é
(x,y,z,w) = t\,(1,\,-1,\,1,\,0),\quad t\in\mathbb{R}.

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