{ }^{a} Questão.(2,5 pts) Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\\\ 4 & -2 \end{array}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x}(0)=\binom{3}{-2} .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial vetorial
\mathbf{x}^{\prime}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}\mathbf{x}.
  • A condição inicial
\mathbf{x}(0)=\binom{3}{-2}.
Portanto a tarefa é determinar \mathbf{x}(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.]

Passo 2

Método escolhido e porquê (explicação didática passo a passo).
  • Vou resolver usando autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios). A ideia: se \mathbf{v} é autovetor de uma matriz A com autovalor \lambda, então A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} e a função \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} satisfaz \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. Assim soluções da forma c e^{\lambda t}\mathbf{v} são possíveis, e uma combinação linear de autovetores gera a solução geral quando os autovetores são linearmente independentes.
  • Procedimento resumido que vou aplicar:
    1. Calcular o polinômio característico de A e os autovalores \lambda.
    2. Para cada \lambda, achar um autovetor \mathbf{v} não nulo resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
    3. Montar a solução geral \mathbf{x}(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2}.
    4. Usar \mathbf{x}(0) para determinar c_{1},c_{2}.

Passo 3

Cálculo do polinômio característico e dos autovalores.
  • A matriz é A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}. O polinômio característico é \det(A-\lambda I).
\det\!\big(A-\lambda I\big) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt]4 & -2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-2-\lambda)-4.
  • Calcular passo a passo:
(1-\lambda)(-2-\lambda) = -2 -\lambda +2\lambda +\lambda^{2} = \lambda^{2}+\lambda-2.
Logo
\det\!\big(A-\lambda I\big)=\lambda^{2}+\lambda-2-4=\lambda^{2}+\lambda-6.
  • Resolver \lambda^{2}+\lambda-6=0. Fatorando:
\lambda^{2}+\lambda-6=(\lambda-2)(\lambda+3)=0.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=-3.]

Passo 4

Encontrar o autovetor associado a \lambda_{1}=2.
  • Resolver (A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. A matriz A-2I é
A-2I=\begin{pmatrix}1-2 & 1\\[4pt]4 & -2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]4 & -4\end{pmatrix}.
  • O sistema linear correspondente é
-1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}=0,
4\cdot v_{1}-4\cdot v_{2}=0.
A segunda equação é múltiplo da primeira, então basta a primeira:
-v_{1}+v_{2}=0\quad\Rightarrow\quad v_{2}=v_{1}.
  • Podemos escolher v_{1}=1, então um autovetor é
\mathbf{v}_{1}=\binom{1}{1}.]

Passo 5

Encontrar o autovetor associado a \lambda_{2}=-3.
  • Resolver (A+3I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. A matriz A+3I é
A+3I=\begin{pmatrix}1+3 & 1\\[4pt]4 & -2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}.
  • O sistema linear é
4v_{1}+v_{2}=0,
4v_{1}+v_{2}=0
(duas equações iguais). Da primeira:
v_{2}=-4v_{1}.
  • Escolhendo v_{1}=1, um autovetor é
\mathbf{v}_{2}=\binom{1}{-4}.]

Passo 6

Montar a solução geral usando os autovalores e autovetores.
  • Como os autovalores são distintos, os autovetores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são linearmente independentes e a solução geral do sistema é
\mathbf{x}(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2} = c_{1}e^{2t}\binom{1}{1}+c_{2}e^{-3t}\binom{1}{-4},
onde c_{1} e c_{2} são constantes a determinar pela condição inicial.

Passo 7

Determinar c_{1}\) e \(c_{2}\) a partir de \(\mathbf{x}(0)=\binom{3}{-2}\). - Avaliando em \(t=0\): \[\mathbf{x}(0)=c_{1}\binom{1}{1}+c_{2}\binom{1}{-4}=\binom{3}{-2}.
Isto gera o sistema linear para c_{1},c_{2}:
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=3,\\[4pt] c_{1}-4c_{2}=-2. \end{cases}
  • Subtrair a primeira equação da segunda ou resolver diretamente. Da primeira c_{1}=3-c_{2}\]. Substituindo na segunda: \[(3-c_{2})-4c_{2}=-2 \quad\Rightarrow\quad 3-5c_{2}=-2.\] Assim \[-5c_{2}=-5\quad\Rightarrow\quad c_{2}=1.\] Então \(c_{1}=3-c_{2}=3-1=2.]

Passo 8

Escrever a solução final e as componentes explicadas.
  • Substituindo c_{1}=2 e c_{2}=1 na solução geral:
\mathbf{x}(t)=2e^{2t}\binom{1}{1}+e^{-3t}\binom{1}{-4}.
  • Separando em componentes, se preferir:
x_{1}(t)=2e^{2t}+e^{-3t},\qquad x_{2}(t)=2e^{2t}-4e^{-3t}.

Resposta

\mathbf{x}(t)=2e^{2t}\binom{1}{1}+e^{-3t}\binom{1}{-4}
x_{1}(t)=2e^{2t}+e^{-3t},\qquad x_{2}(t)=2e^{2t}-4e^{-3t}

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