Portanto a tarefa é determinar \mathbf{x}(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.]
Passo 2
Método escolhido e porquê (explicação didática passo a passo).
Vou resolver usando autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios). A ideia: se \mathbf{v} é autovetor de uma matriz A com autovalor \lambda, então A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} e a função \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} satisfaz \mathbf{x}'=A\mathbf{x}. Assim soluções da forma c e^{\lambda t}\mathbf{v} são possíveis, e uma combinação linear de autovetores gera a solução geral quando os autovetores são linearmente independentes.
Procedimento resumido que vou aplicar:
Calcular o polinômio característico de A e os autovalores \lambda.
Para cada \lambda, achar um autovetor \mathbf{v} não nulo resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Montar a solução geral \mathbf{x}(t)=c_{1}e^{\lambda_{1}t}\mathbf{v}_{1}+c_{2}e^{\lambda_{2}t}\mathbf{v}_{2}.
Usar \mathbf{x}(0) para determinar c_{1},c_{2}.
Passo 3
Cálculo do polinômio característico e dos autovalores.
A matriz é A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}. O polinômio característico é \det(A-\lambda I).
onde c_{1} e c_{2} são constantes a determinar pela condição inicial.
Passo 7
Determinar c_{1}\) e \(c_{2}\) a partir de \(\mathbf{x}(0)=\binom{3}{-2}\).
- Avaliando em \(t=0\):
\[\mathbf{x}(0)=c_{1}\binom{1}{1}+c_{2}\binom{1}{-4}=\binom{3}{-2}.
Subtrair a primeira equação da segunda ou resolver diretamente. Da primeira c_{1}=3-c_{2}\]. Substituindo na segunda:
\[(3-c_{2})-4c_{2}=-2 \quad\Rightarrow\quad 3-5c_{2}=-2.\]
Assim
\[-5c_{2}=-5\quad\Rightarrow\quad c_{2}=1.\]
Então \(c_{1}=3-c_{2}=3-1=2.]
Passo 8
Escrever a solução final e as componentes explicadas.