Questão.(2,5
) Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Interpretando a equação diferencial:
é a derivada de
em relação a
. Reescrevendo a equação para deixar a derivada isolada:
Isto significa que a taxa de variação de
em
é dada por
.
Passo 3
Esta equação é separável: podemos agrupar todos os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
localmente) e multiplicando por
, obtemos
Explicação rápida do passo: “separável” significa escrever a equação na forma
para poder integrar cada lado em sua variável.
Passo 4
Integramos os dois lados. Aplico primitivas:
Calculemos cada integral separadamente.
- Para a integral em
: . Aqui usei a regra para . - Para a integral em
: , pois a derivada de é .
Igualando as primitivas (podemos juntar as constantes num só
) obtemos
Passo 5
Resolva agora para
. Primeiro isolamos
:
onde
é uma constante arbitrária (aqui
). Portanto a solução geral implícita é
Comentário sobre constantes: na integração surgem constantes de integração; ao juntar as dos dois lados introduzimos apenas uma constante arbitrária
.
Passo 6
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão:
Como
, isto dá
Passo 7
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
Verificação rápida: esta função satisfaz a condição inicial
e, se desejado, pode-se derivar e checar que satisfaz a equação diferencial original.
Passo 8
Discussão sobre domínio e existência: como
para todo
, temos
, ou seja, o denominador nunca é zero. Portanto
está bem definida e contínua para todo
. Isso garante que a solução encontrada existe e é única globalmente (no contexto usual de equações separáveis com as condições dadas).