{ }^{\text {a }} Questão.(2,5 \mathbf{p t s} ) Resolva o PVI:
y^{\prime}+y^{2} \operatorname{sen} x=0, \quad y(0)=1 .

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
y^{\prime}+y^{2}\operatorname{sen} x=0, \qquad y(0)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Interpretando a equação diferencial: \,y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}\, é a derivada de y em relação a x. Reescrevendo a equação para deixar a derivada isolada:
\frac{dy}{dx} = -\,y^{2}\operatorname{sen} x.
Isto significa que a taxa de variação de y em x é dada por -y^{2}\operatorname{sen} x.

Passo 3

Esta equação é separável: podemos agrupar todos os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro. Dividindo ambos os lados por y^{2} (assumindo y\neq0 localmente) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{y^{2}}\,dy = -\operatorname{sen} x \,dx.
Explicação rápida do passo: “separável” significa escrever a equação na forma g(y)\,dy = h(x)\,dx para poder integrar cada lado em sua variável.

Passo 4

Integramos os dois lados. Aplico primitivas:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int -\operatorname{sen} x \,dx.
Calculemos cada integral separadamente.
  • Para a integral em y: \int y^{-2}\,dy = -\dfrac{1}{y} + C_1. Aqui usei a regra \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • Para a integral em x: \int -\operatorname{sen} x\,dx = \cos x + C_2, pois a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.
Igualando as primitivas (podemos juntar as constantes num só C) obtemos
-\,\frac{1}{y} = \cos x + C.

Passo 5

Resolva agora para y. Primeiro isolamos 1/y:
\frac{1}{y} = -\cos x - C =: C_1 - \cos x,
onde C_1 é uma constante arbitrária (aqui C_1=-C). Portanto a solução geral implícita é
y(x) = \frac{1}{C_1 - \cos x}.
Comentário sobre constantes: na integração surgem constantes de integração; ao juntar as dos dois lados introduzimos apenas uma constante arbitrária C_1.

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C_1. Substituindo x=0 e y(0)=1 na expressão:
1 = y(0) = \frac{1}{C_1 - \cos 0}.
Como \cos 0 = 1, isto dá
1 = \frac{1}{C_1 - 1}\quad\Longrightarrow\quad C_1 - 1 = 1\quad\Longrightarrow\quad C_1 = 2.

Passo 7

Substituindo C_1=2 na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x) = \frac{1}{2 - \cos x}.
Verificação rápida: esta função satisfaz a condição inicial y(0)=1 e, se desejado, pode-se derivar e checar que satisfaz a equação diferencial original.

Passo 8

Discussão sobre domínio e existência: como \cos x\in[-1,1] para todo x, temos 2-\cos x\in[1,3], ou seja, o denominador nunca é zero. Portanto y(x) está bem definida e contínua para todo x\in\mathbb{R}. Isso garante que a solução encontrada existe e é única globalmente (no contexto usual de equações separáveis com as condições dadas).

Resposta

y(x)=\frac{1}{2-\cos x}.

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