sabendo que os autovalores da matriz \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right) são r_{1}=3 e r_{2}=1, cujos autovetores associados são \mathbf{v}^{(1)}=\binom{1}{1} e \mathbf{v}^{(2)}=\binom{1}{-1}, respectivamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
A matriz \mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} tem autovalores r_{1}=3 e r_{2}=1.
Os autovetores associados são \mathbf{v}^{(1)}=\binom{1}{1} (para r_1=3) e \mathbf{v}^{(2)}=\binom{1}{-1} (para r_2=1).
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral \mathbf{x}(t) do sistema (ou seja, a solução geral do sistema não homogêneo, com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Escolha de mudança de variável usando a base de autovetores (explicação e construção das matrizes).
Como temos uma base formada pelos autovetores, vamos montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores:
A ideia é diagonalizar a parte homogênea: P^{-1}AP=D=\operatorname{diag}(3,1). Fazemos a mudança de variável
\mathbf{x}=P\mathbf{y},
onde \mathbf{y}(t) é o vetor de componentes na base de autovetores. Isso transforma o sistema acoplado em um sistema quase desacoplado (diagonal para a parte homogênea) que é mais fácil de resolver.]
Passo 3
Calcular P^{-1} e transformar o sistema (passo técnico e explicação do porquê).
Resolver a primeira equação escalar y_1' = 3y_1 + \tfrac{1}{2}e^t (método: solução geral = homogênea + particular).
A equação homogênea associada é y_1' = 3y_1, cuja solução geral é
y_{1,\text{h}}(t)=C_1 e^{3t},
com C_1 constante arbitrária.
Para encontrar uma solução particular \,y_{1,\text{p}}(t) da equação completa, observamos que a forçante é \tfrac{1}{2}e^t. Como e^t não é solução da homogênea (aqui o autovalor é 3, não 1), podemos tentar uma particular do tipo A e^t.
Substituindo y_{1,\text{p}}(t)=A e^t na equação:
A e^t = 3A e^t + \tfrac{1}{2}e^t.
Dividindo por e^t e resolvendo para A:
A = 3A + \tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -2A=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad A=-\tfrac{1}{4}.
Logo a solução geral de y_1 é
y_1(t)=C_1 e^{3t}-\tfrac{1}{4}e^t.
Passo 6
Resolver a segunda equação escalar y_2' = y_2 + \tfrac{1}{2}e^t (atenção: caso de ressonância).
A equação homogênea é y_2' = y_2, cuja solução é
y_{2,\text{h}}(t)=C_2 e^{t},
com C_2 constante arbitrária.
Agora a forçante é \tfrac{1}{2}e^t e observe que e^t é solução da homogênea (autovalor 1). Isso é o que se chama ressonância: a tentativa direta B e^t falha porque faz os termos se cancelarem. Nesses casos tentamos uma particular da forma B t e^t.
Suponha y_{2,\text{p}}(t)=B t e^t. Então
y_{2,\text{p}}'(t) = B e^t t + B e^t = B e^t(t+1).
Substituindo na equação:
B e^t(t+1)=B t e^t + \tfrac{1}{2} e^t.
Cancelando B t e^t dos dois lados sobra
B e^t = \tfrac{1}{2} e^t \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{2}.
Assim a solução particular é y_{2,\text{p}}(t)=\tfrac{1}{2}t e^t e a solução geral de y_2 é
y_2(t)=C_2 e^{t}+\tfrac{1}{2}t e^t.
Passo 7
Reunir a solução \mathbf{y}(t) e voltar à variável original \mathbf{x}=P\mathbf{y}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, caso fossem fornecidas. Poder-se-ia também recombinar os termos multiplicando e^t por constantes novas, mas a forma acima deixa explícita a contribuição do termo ressonante \tfrac{1}{2}t e^t.