Questão.(2,5 pts) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
- Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo à direita é um polinômio em
de grau : .
Passo 2
Entendendo a estratégia (sem calcular ainda).
Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo do tipo polinomial, exponencial, seno/cosseno ou produto desses, um método eficiente é:
- Primeiro encontrar a solução complementar (solução da equação homogênea associada), que vem da equação característica.
- Depois encontrar uma solução particular
para a equação completa. Uma técnica prática é o método dos coeficientes a determinar (method of undetermined coefficients): escolhe-se um tipo de tentativa para (ansatz) seguindo a forma do termo forçante e determina-se os coeficientes impondo que a ansatz satisfaça a equação. - A solução geral é a soma da solução complementar com a particular:
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada para obter
.
A equação homogênea é
Assumimos solução de forma exponencial
. Substituindo nas derivadas obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula resolvente:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma da solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve lembrete: a parte
vem do
e as funções
vêm da parte imaginária.)
Passo 4
Escolher um ansatz para a solução particular
.
O termo não-homogêneo é um polinômio em
de grau
:
. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um polinômio de mesmo grau:
onde
,
,
são constantes a determinar.
Observação sobre ressonância: se algum termo do ansatz coincidisse com uma solução do homogêneo, teríamos que multiplicar por
uma ou mais vezes. Aqui a solução homogênea tem fator
multiplicando senos/cossenos, não polinômios simples, então não há ressonância e o ansatz polinomial é adequado.
Passo 5
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para determinar
.
Derivadas:
Substituindo em
obtemos:
Passo 6
Organizar os termos por potências de
.
Expandindo e agrupando:
Reordenando por potências:
Passo 7
Igualar coeficientes das potências correspondentes e resolver o sistema para
.
Comparando coeficientes de
:
Comparando coeficientes de
:
Substituindo
:
Comparando termos constantes:
Substituindo
e
:
Portanto a solução particular é
Passo 8
Construir a solução geral somando
e
.
A solução geral é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais, se houverem.