{ }^{a} Questão.(2,5 pts) Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=4 t^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=4t^{2}.
  • Informações relevantes dadas:
    • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
    • O termo à direita é um polinômio em t de grau 2: 4t^{2}.

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem calcular ainda).
Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo do tipo polinomial, exponencial, seno/cosseno ou produto desses, um método eficiente é:
  • Primeiro encontrar a solução complementar (solução da equação homogênea associada), que vem da equação característica.
  • Depois encontrar uma solução particular y_{p}(t) para a equação completa. Uma técnica prática é o método dos coeficientes a determinar (method of undetermined coefficients): escolhe-se um tipo de tentativa para y_{p}(t) (ansatz) seguindo a forma do termo forçante e determina-se os coeficientes impondo que a ansatz satisfaça a equação.
  • A solução geral é a soma da solução complementar com a particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada para obter y_{c}(t).
A equação homogênea é
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=0.
Assumimos solução de forma exponencial y=e^{rt}. Substituindo nas derivadas obtemos a equação característica
r^{2}-2r+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula resolvente:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas r=1\pm i, a forma da solução complementar é
y_{c}(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve lembrete: a parte e^{t} vem do \operatorname{Re}(e^{(1+i)t}) e as funções \cos t,\sin t vêm da parte imaginária.)

Passo 4

Escolher um ansatz para a solução particular y_{p}(t).
O termo não-homogêneo é um polinômio em t de grau 2: 4t^{2}. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um polinômio de mesmo grau:
y_{p}(t)=At^{2}+Bt+C,
onde A, B, C são constantes a determinar.
Observação sobre ressonância: se algum termo do ansatz coincidisse com uma solução do homogêneo, teríamos que multiplicar por t uma ou mais vezes. Aqui a solução homogênea tem fator e^{t} multiplicando senos/cossenos, não polinômios simples, então não há ressonância e o ansatz polinomial é adequado.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p}(t) e substituir na equação para determinar A,B,C.
Derivadas:
y_{p}'(t)=2At+B,
y_{p}''(t)=2A.
Substituindo em \,y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+2y=4t^{2}\, obtemos:
2A - 2(2At+B) + 2(At^{2}+Bt+C) = 4t^{2}.

Passo 6

Organizar os termos por potências de t.
Expandindo e agrupando:
2A -4At -2B + 2At^{2} + 2Bt + 2C = 4t^{2}.
Reordenando por potências:
2A t^{2} + (-4A + 2B)t + (2A - 2B + 2C) = 4t^{2} + 0\cdot t + 0.

Passo 7

Igualar coeficientes das potências correspondentes e resolver o sistema para A,B,C.
Comparando coeficientes de t^{2}:
2A = 4 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Comparando coeficientes de t:
-4A + 2B = 0.
Substituindo A=2:
-8 + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=4.
Comparando termos constantes:
2A - 2B + 2C = 0.
Substituindo A=2 e B=4:
4 - 8 + 2C = 0 \quad\Rightarrow\quad -4 + 2C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=2.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=2t^{2}+4t+2.

Passo 8

Construir a solução geral somando y_{c} e y_{p}.
A solução geral é
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) + 2t^{2}+4t+2,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais, se houverem.

Resposta

y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) + 2t^{2}+4t+2

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